您当前所在位置: 首页 > 学术社区
在线提示

微学术WeSci

数间距定理和数学基础的重建

2019-06-23 16:12:00 目录:默认 领域:数学 希望交流

 

李鸿仪

 

 

文献[1] 证明了数间距定理,而数间距的存在一方面暴露了现有的数学基础中包括实数连续和实数不可列在内的大量错误,另一方面也为重建数学基础提供了简单且可靠的基础。

 

相邻实数的数间距只能是无限小,否则就与实数的稠密性相悖。然而,无限小只是实数相邻的必要不充分条件[1],因此,通常我们难以确定相邻实数的数间距(以下称为邻距)究竟小到什么程度。

 

不过,在某些情况下,我们还是可以找到一些规律。

 

例如,邻距的存在为重建科学的测度论提供了一个简单且可靠的基础:由于实数的测度为零,因此区间的测度等于区间内实数的邻距之和[1]。由此可以确定邻距的相互关系。

 

例如,

 

1)如果两个长度相等的两个线段上的邻距相等,则两个线段上实数的数目严格相等,这时两个线段之间能建立实数间的一一对应关系;

 

2)如果两个同心圆邻距与各自的周长成正比,则两个同心圆可建立实数间的一一对应关系,

 

3)如果两个长度不等的线段之间能建立实数间的一一对应关系,则长线段的平均邻距大于短线段的平均邻距。

 

这里之所以要引入平均邻距的概念,是因为在情况3)下,区间内的邻距有可能不相等。例如,如果要在下列两个线段之间建立一一对应关系

 

------

 

--------------------------------

 

则长线段右边的邻距通常大于左边的邻距。

 

   4)如果一个边长为l正方形上的实数点的邻距是一根长度为l直线上的实数点的邻距的l倍,则正方形上点可与直线上点的建立一一对应关系。

 

…….

 

不难看出,上述的一一对应都是建立在无限集合元素的数目严格相等即严格等势的可靠基础上的,所得到的结果也完全与直觉一致,而康托的势的概念过于粗糙,其往往顾头不顾尾的所谓一一对应实际上也未必严格等势,这时他所得到的结果往往是反直觉的原因,无可靠性可言[2]

 

         一般来说,除非人们能证明直觉是一种错觉,否则反直觉往往意味着有明显或不明显的逻辑问题。

 

上述只是给出了邻距的相对大小关系,并没有给出绝对邻距应该是多少。由于邻距(绝对)是无限小的,这虽然为我们得到任意精确的结果提供了理论上的保证,但这也使得我仍然难以确定邻距究竟小到什么程度。

 

不过,在实际工作中,人们实际需要或能够掌握的精度都是有限的。例如,计算机只能处理有限精度的数据;能量并不是无限可分的;我们甚至永远不知道任一无理数的精确值……

 

   为此,可以将一个点及其邻距所在的有限区间或无限小区间看作一个整体,称之为单元区,这样处理不但更容易掌握,而且往往可以大幅度提高计算效率。

 

例如,在思维科学、认知科学和人工智能领域,为了提高人脑或人工智能处理信息的效率,近似处理极为重要。将一个区间作为一个整体来看是各种近似的本质。有时候区间甚至不一定要与数字相对应。例如,红蓝黄分别对应于光波的不同波长区间,因此人脑或人工智能可以将其作为红区、蓝区、黄区来处理而不考虑其具体的波长,效率就能大大提高。模糊数学的隶属函数的定义域、冯嘉礼的基准变化,殷业的粒度概念,也都可以视作将一个区间当作整体来处理以提高效率的一些方法。甚至哲学中的量变质变规律,也可以归结为一种近似:在一定区间内, 量变不引起质变,即该区间属于同一个单元区, 超出该区间,量变引起质变,即进入属于另一个单元区。

 

上述方法不但具有实际意义,而且也有一定的理论意义:由于单元区也可以是无限小,因此可以将充满空隙(邻距)的实数轴变得不再有空隙。在承认数间距的情况下,如果用一把没有厚度的刀劈向实数轴,那它大概率劈不到任何一个大小为零的实数,但却必然劈到某一个单元区。从而把不连续的实数变得“准连续”。

 

 

 

    

 

    参考文献:

    [1]李鸿仪.数间距定理及其对数学基础的颠覆.http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVcVwu
    [2]李鸿仪.区间[0,1)内列出实数的方法http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVQV1u

    私信 添加关注

    发送私信

    发送给leehyb

    研究员 无

    工作单位:上海第二工业大学

    所属领域:数理科学

    • 33
    • 0
    • 0
    • 0
    • 1
    撰写我的微学术文章 返回顶部