您当前所在位置: 首页 > 学术社区
在线提示

微学术WeSci

可达极限和不可达极限

2019-09-11 13:10:27 目录:默认 领域:数学 希望交流

摘要:数学分析只解决了极限的存在与否和如何求极限的问题,并没有讨论极限本身是否能达到的问题。如果该问题存在,则逻辑上极限可以分成两类:一类是可达型,另一类是不可达型。实际上,这两种类型都存在。本文将讨论区分这两种极限对数学界的重要意义。只能无限接近但不能达到的极限称为不可达极限,不但可以无限接近且能精确达到的极限称为可达极限。对于不可达极限,由于其极限不可达,实际使用的只能是其近似值。混淆不可达极限与其近似值是很多数学错误和悖论的根源。 关键词:微积分;极限;可达极限;不可达极限。

 

 

对于定义在有限区域内的函数极限

 

limxx0      f(x) =A(1)

 

只要求f(x)在x0 的某个空心邻域内有定义,并不要求f(x)在x0有定义。然而,在实际情况中,逻辑上有以下3种可能:1)f(x)在x0没有定义;2)f(x)在x0有定义且f(x0)=A;3)f(x)在x0有定义但f(x0) 不等于A

 

定义 1能达到的极限点称为可达极限点,不能达到的极限点称为不可达极限点;只能无限接近但不能达到的极限称为不可达极限,不但可以无限接近且能精确达到的极限称为可达极限。

 

定理11)若f(x)在x0 处有定义且f(x0)=A时,式(1)中对应的极限点(x0A)为可达极限点;2)若f(x)在x0 处没有定义或3)虽然有定义但f(x0)不等于A时,式(1)中对应的极限点为不可达极限点。

 

证明 1)显然;2)x无法达到x0,故极限点不可达;3)x虽然可达到x0但因为f(x0) 不等于A故极限点也不可达。

 

定理2 在x0 的某个空心邻域内,f(x)为单调上升(或下降)函数的不可达极限点所对应的极限是不可达极限。

 

证明 x0 的某个空心邻域内,对于以A为极限的任意单调上升(或下降)函数,x无限趋于x0时,f(x)无限趋于但不等于 A而极限点(x0A)又是不可达的,故极限A是不可达极限。

 

定理3任意单调上升(或下降)的收敛数列的极限limn    an =a是不可达极限。

 

证明 由于趋于无限的n不可能止于某一个自然数(否则就不是无限而是有限了),而随着n的增加,an 只会单调地上升(或下降),又由于数列收敛,所以极限存在,所以任意单调上升(或下降)收敛数列只能无限接近但达不到极限。 

 

定理4 极限limx    f(x) =A对应的极限点是不可达极限点;若f(x) 是单调上升(或下降)函数,A是不可不可达极限。证略。

对可达极限,由于极限可以精确地达到,一般不需要讨论极限的近似。但对于不可达极限,由于极限并不能精确地达到,就需要讨论极限的近似,故

定义2称不可达极限为虚拟极限,其极限点为虚拟点,无限趋近虚拟极限的近似值为近似极限。

极限的近似值为近似极限。

 

显然,每一个虚拟极限对应着无限多个近似极限。

 

虽然虚拟极限不能达到,但却可以无限地接近,因此常常可以把它当作近似极限来处理。然而,必须注意到,两者虽然在数值上可以无限接近,但概念并不相同,而且在需要精确的场合,其数值也不相同。

 

混淆近似极限和虚拟极限是很多数学错误和悖论的根源。

 

例 1 实数轴上相邻的两个数之间的距离为零?

 

考虑在区间[0,1]均匀地分布m个点,则相邻的两个点之间的距离为单调下降数列1/(m-1),而根据定理3,极限limm→∞[1/(m-1)]=0

 

是一个虚拟极限,故相邻的两个数之间的距离实际上只能无限地趋于零而不能达到零。

 

事实上,如果实数轴上相邻的两个数之间的距离为零,则说明这两个数是同一个实数,进而易证所有的实数都相同,实数轴将退化为一个点,造成矛盾。所以,实数轴上任意两个相邻的数之间的距离虽然可以是无限接近零而不能是零。

 

由上例可见,由于虚拟点实际上并不存在,所以把虚拟点当做精确点可能会因为和实际情况不一致而形成悖论。

 

例 2 因为limn(n+1)/n=1 所以 ∞+1=∞?

 

根据定理3,极限1是虚拟极限,所以∞+1=∞只是虚拟成立,实际上并不成立。 

误以为∞+1=∞精确成立不但造成了无限旅馆悖论,也是无限集合理论中的根本性错误“无限集可以与其真子集建立一一对应关系”的根源[1-2]

例 3  0.999...=1是否成立? 

    对数列 0.9,0.99, ….如果用n表示小数位数,则n→∞   时的极限等于1。然而,根据定理3,该极限是不可达,等式只是虚拟成立。

所有该等式的证明都是只讨论了虚拟点。

例 4  数学分析是否比牛-莱微积分更严格?

以函数y =x2例,  y=limx0(y/x)= 2x +limx0x,由于y在△x=0处没有定义,因此,根据定理1、2,若y=2x,就须取limx0△x的虚拟值0,与牛-莱令无限小量dx=0 完全一样,并没有更严格[3]

 

    参考文献:

    【1】不应该存在的悖论
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/79291867
    【2】无限集定义中的逻辑错误
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/75807891
    https://preprint.nstl.gov.cn/preprint/main.html?action=showFile&id=8a8b8a986c3b00e1016c4b242f730026
    【3】不存在的贝克莱悖论
    http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVcVyu
    https://preprint.nstl.gov.cn/preprint/main.html?ac

    私信 添加关注

    发送私信

    发送给leehyb

    研究员 无

    工作单位:上海第二工业大学

    所属领域:数理科学

    • 16
    • 0
    • 0
    • 0
    • 0
    撰写我的微学术文章 返回顶部