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可达极限和不可达极限

2019-09-11 13:10:27 目录:默认 领域:数学 希望交流

 

通常很多极限都只能无限接近而不能到达,例如,数列

 

1,1/2,1/3,….

 

的极限0只能无限接近而不能到达,但数列

 

3,2,1,0,0,0,…..

 

显然也有极限,且极限0是可以到达的。

 

定理1任意单调上升(或下降)的收敛数列a1,a2,a3,…只能无限接近而不能到达极限limn→∞ an =a。 

 

证明 由于数列收敛,故极限a存在. 又由于趋于无限的n不可能止于某一个自然数,而随着n的增加,单调数列an 的值不会止于a而不再上升(或下降),所以任意单调上升(或下降)的收敛数列a1,a2,a3,…只能无限接近而不能到达极限a

 

 

定义1称只能无限接近而不能到达的极限为虚拟极限,无限趋近虚拟极限的近似值称为近似极限。

 

 

 

 

函数极限也类似(略)。

 

 

 

虽然虚拟极限不能达到,但却可以用近似极限无限逼近。为了简化问题,有时可以在数值上把虚拟极限当作近似极限来处理。然而,两者的数值永远不可能真正相等,故在需要绝对精确的场合,混淆近似极限和虚拟极限会造成各种错误或悖论。

 

1因为limn[(n+1)/n ]=1 所以n趋于无限时,n+1=n(一般表示为∞+1=)

 

由于该数列单调递减,故上述极限是虚拟极限,即根据潜无限定义,+1=不可能精确成立。

 

2  0.999…=1是否真的成立?

 

对这个问题的研究历史也十分悠久。

 

对数列 0.9,0.99,0.999, ….

 

数列各项的下标n正好等于各小数的总位数,n   时该数列极限等于1。但由于该数列单调递增,故其极限是虚拟极限,等式只是在假定无限过程已经完成时的虚拟点成立,即对实无限小数成立,对小数位数无限增加的潜无限小数则不能精确成立。

 

有多种方法可以证明该等式成立,但实际上也都只能在虚拟点进行证明。例如,一种众所周知的证明方法是

 

S=0.999...,10S=9.999...,两式相减得9S=9,S=1

 

在上述看似十分简单的证明中,如果S有∞+1位小数,乘以10 之后的10S就只有∞位小数了,因此,如果+1不等于∞,相减后小数就不会消去,证明不能成立。而要证明成立,就要求+1=∞,但如上例所示,这只有在虚拟点才能成立。

 

 

由于实际上无限并不能达到和完成,因此,假定无限已经完成的实无限小数也存在着产生悖论的可能性。例如,若省略号表示的是实无限位小数,就会出现1-0.999… =0.000…1=0这一难以解释的悖论。故笔者不建议用0.999…来表示1。

 

 

 

3  实数轴上相邻的两个数之间的距离即邻距为多少?

 

从直觉的角度来看,实数轴上每个实数两边都存在其他数,因此实数是相邻的,但研究其邻距却碰到了困惑。

 

若邻距为正有限小,就可以在两个实数间插入新的实数,使得原来相邻的实数不再相邻,造成矛盾,故邻距不能为有限小。

 

这一现象通常称为稠密性。

 

如果相邻的x1x2的邻距 | x1-x2| = 0,则x1=x2, 即这两个数是同一个实数。同理,若相邻的x1x2x3...的邻距都为零,则x1=x2=x3=…., 即所有邻距为零的相邻实数都相同,实数轴将退化成一个点,也造成矛盾,故邻距不能为零。

 

目前数学界其实停留在要么认为邻距为零、要么干脆否认相邻这一客观现象。

 

用数学归纳法可以证明,n小数的邻距为10-n,故无限小数的邻距为limn→∞(10-n)

 

该式说明,相邻现象是客观存在的,而且邻距是可以计算的。

 

由该式可见,由于实无限小数已经具有了无限位小数,故与实无限小数对应的邻距是虚拟极限0,如前所述,这将会导致矛盾。这也是实无限小数所导致的一个悖论。

从潜无限小数角度来看,在n位小数之间插入其他小数,这个小数至少是n+1位的,同理,在∞位小数之间插入其他小数,这个小数至少是∞+1位的。由此可见,用潜无限小数能很好地解释邻距问题:小数位数不变时(相当于在n趋向于无限的一刹那),邻距是固定的,小数位数越多,邻距越小,小数位数趋于无限时,邻距趋于无限小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    参考文献:

    【1】不应该存在的悖论
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/79291867
    【2】无限集定义中的逻辑错误
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/75807891
    https://preprint.nstl.gov.cn/preprint/main.html?action=showFile&id=8a8b8a986c3b00e1016c4b242f730026
    【3】不存在的贝克莱悖论
    http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVcVyu
    https://preprint.nstl.gov.cn/preprint/main.html?ac

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    研究员 无

    工作单位:上海第二工业大学

    所属领域:数理科学

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