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突破人类思维能力的瓶颈口(3)

2019-11-02 12:24:49 目录:默认 领域:数学 希望交流

摘要: 1.2.2 对无限小数的分类 1.2.3对极限的分类 例 1 0.999…=1是否真的成立? 。

 

根据潜无限“是无限延伸着的有限过程”这一性质,可以把无限的自然数集表示为A={123...n}n→∞。不难证明,当且仅当m等于n时,潜无限集AB={123...m}m→∞之间才能建立一一对应关系。

 

上例说明,与实无限不同,即使是两个潜无限自然数集,也不一定能够建立一一对应关系。例如,无限增长的游客数n和可无限建造的旅馆床位m可视作是两个潜无限集,但如果始终有n>m,旅馆就始终处于客满状态,无法在人数和床位之间建立一一对应关系,所谓无限旅馆悖论自然消失。

 

   可见,在严格的潜无限定义下,可以将一一对应关系建立在与有限集一样可靠的基础上,各种无限悖论不再有藏身之地,在此基础上重建的集合论将不会有任何悖论。

 

1.2.2 对无限小数的分类

 

根据潜无限的定义,潜无限小数是小数位数可无限增加的有限小数;而传统的无限小数可视作已经具有无限位小数的实无限小数。

 

对于每一位都要通过计算得到的、没有规律可循的无理数如圆周率,由于无限次的计算是无法完成的,故实际只可得到位数可无限增加的有限小数即潜无限小数,而具有无限位的实无限小数只存在于人们的想象或一些关系式中。

 

对于有规律的无限循环小数如1¸3=0.333…,其每位小数也是通过永远无法完成的计算得到的,故严格来说也是一个潜无限小数。只是由于计算得到的每位小数都恰好相同,故数次计算后,我们不计算也能根据其规律“知道”其结果,所以可根据规律将其表示为想象中的实无限小数。

 

无理数中也存在着有规律的小数如0.12 1122 111222…, 故也可将这类无理数表示为想象中的实无限小数。

 

1.2.3对极限的分类

 

根据极限的定义,数列

 

1,1/2,1/3,….

 

只能无限接近而不能达到其极限0,但数列

 

3,2,1,0,0,0,…..

 

倒是可以达到其极限0的。

 

称实际上只能无限接近而不能达到的极限为虚拟极限。

 

易证所有单调收敛数列所收敛的极限都是虚拟极限[7]

 

无限趋近虚拟极限的近似值称为近似极限。

 

由于虚拟极限只能在实无限想象中达到,故也可称虚拟极限为实无限极限。

 

虽然虚拟极限实际上不能达到,但却可以用近似极限无限逼近。在绝大多场合,并不要求绝对的精确,这时可以对两者不加严格的区分。然而,两者的数值永远不可能真正相等,故在需要绝对精确的场合,混淆近似极限和虚拟极限可能会造成各种模糊认识甚至错误或悖论。除了悖论+1=∞外,以下再举几例。

 

1  0.999…=1是否真的成立?

 

对数列 0.9,0.99,0.999, ….

 

数列各项的下标n正好等于各小数的总位数,n   时该数列极限等于1。但由于该数列单调递增,故其极限是虚拟极限,等式只对想象中的实无限成立,故对同样是想象中的实无限小数成立,对潜无限小数则不能精确成立。

 

有多种方法可以证明该等式成立,但实际上也都只能在实无限的想象下进行了证明。例如,一种众所周知的证明方法是

 

S=0.999...,10S=9.999...,两式相减得9S=9,S=1

 

在上述看似十分简单的证明中,如果S有∞+1位小数,乘以10 之后的10S就只有∞位小数了,因此,如果+1不等于∞,相减后小数就不会消去,证明不能成立。而要证明成立,就要求+1=∞,但如上例所示,这只对想象中的实无限才能成立。

 

 

    参考文献:

    [7]李鸿仪.可达极限和不可达极限
    http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2Y9wNMbDVIV4u

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    研究员 无

    工作单位:上海第二工业大学

    所属领域:数理科学

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