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突破人类思维能力的瓶颈口(4)

2019-11-02 12:43:50 目录:默认 领域:数学 希望交流

摘要: 例 2 实数轴上相邻的两个数之间的距离即邻距为多少? 。

 

例 2  实数轴上相邻的两个数之间的距离即邻距为多少?

 

从几何角度来看,实数轴上每个实数两边都应该存在其他数,因此实数是相邻的,但研究其邻距却碰到了困惑。

 

若邻距为有限小,就可以在两个实数间插入新的实数,使得原来相邻的实数不再相邻,造成矛盾,故邻距不能为有限小。

 

这一现象通常称为实数的稠密性。

 

如果相邻的x1x2的邻距 | x1-x2| = 0,则x1=x2, 即这两个数是同一个实数。同理,若相邻的x1x2x3...的邻距都为零,则x1=x2=x3=…., 即所有相邻实数都相同,实数轴将退化成一个点,也造成矛盾,故邻距不能为零。

 

目前数学界要么错误地认为邻距为零、要么干脆否认存在相邻数

 

事实上,对十进制小数,一位小数的邻距为0.1,二位小数的邻距为0.01…., n小数的邻距为10-n,故无限小数的邻距为limn→∞(10-n)

 

该式说明,相邻现象是客观存在的,而且邻距是可以计算的。

 

由该式可见,由于实无限小数已经具有了无限位小数,故与实无限小数对应的邻距是虚拟极限0,如前所述,这将会导致矛盾。这也是实无限定义所导致的一个悖论。

 

用潜无限小数则能很好地解释邻距问题:小数位数不变时(相当于在n趋向于无限的任一刹那),邻距是固定的,小数位数越多,邻距越小,小数位数趋于无限时,邻距是一个趋于但不等于零的正无限小。

 

认识并承认邻距的存在,将对数学基础产生革命性的影响:数学基础将建立在十分简洁、严格且没有错误和矛盾的基础之上。

 

例如,有理数和无理数的稠密性都表现为其间距是无限小的。不过,文献[8]已经证明,无理数的间距是更高阶的无限小,即无理数要稠密得多。因此,任意两个间距为无限小的两个有理数之间,都有无数个无理数,既有理数是一个一个单独存在的,而无理数是成片存在的。从这个角度来看,相对于无理数,有理数非但不稠密,还十分稀疏。由此可见,戴德金用两个有理数集来定义单独的无理数是做不到的:如图1所示,在两个有理数集之间,根号2并不是单独存在的,而是与其他无数个无理数(粗线)成片地存在的。

 

 

  

既然实数的邻距是无限小而不是零,现有的测度论必须全部推倒重建。其实,根据实数存在邻距这一结果可以将测度论建立在极其简单且可靠的基础上。例如,如图2所示,不难证明,若两个同心圆上的实数要成一一对应关系,两个无限小的邻距(即图示的弧长)的比值就恰为同心圆的半径之比。

应该指出的是,如果两根线段之间有多种一一对应方法,则不同的一一对应方法,其邻距的关系通常不同。

 

不考虑邻距地认为线段[01)上的实数可以与无限长线段上的实数建立一一对应关系、推而广之,一滴水的点和整个大海甚至整个宇宙的点一样多之类完全违反直觉的悖论,也应该进历史博物馆了!

 

无限小的邻距保证了理论研究和实际工作中所需要的任意精度。为了处理方便,也可把邻距定义为点。这样,无论邻距是大是小,数轴上都不再有令人不安的空隙,点的测度就变成邻距。由于点是无限小,有着广泛应用的单位脉冲函数即狄拉克d 函数和数学之间的矛盾也就不复存在了:无限小和无限大的积可以等于1

 

这种把一个区间当成一个点来处理的方法,在实际工作中是十分普遍的。例如,当我们在对1.4四舍五入的时候,其实就是把区间[0.5,1.5)看成用数字1来表示的点。当然还可以有其他的近似方法,本质上都是把一个区间当作一个整体。在思维科学、认知科学和人工智能领域,为了提高人脑或人工智能处理信息的效率,将一个并不是无限小甚至还比较大的区间作为一个类似于点的整体来看也是常见的。例如,红蓝黄分别对应于光波的不同波长区间,因此人脑或人工智能可以将其分别作为红点、蓝点、黄点来处理,效率就能大大提高。模糊数学中隶属函数的定义域、冯嘉礼[9]的基准变化的范围,殷业[10]的粒度概念,也都可以视作将一个区间当作整体来处理以提高效率的一些方法。甚至哲学中的量变质变规律,也可以归结为一种区间近似[9]:在属于同一个点或整体的区间,量的变化不引起整体的变化,可看做 量变不引起质变,而超出该区间,即进入属于另一个整体的区间,可看做量变引了起质变。

 

 

    参考文献:

    [8]李鸿仪.用戴德金分割定义无理数中的问题
    http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVEVwu
    [9]聂文龙,冯嘉礼.属性论的分级推理方法[J].广西师范大学学报(自然科学版),2006,24(4):30-33. 
    [10]柯德营,殷业,杜军辉.基于模糊信息粒理论的模糊控制方法[J]计算机仿真, 2016(1):391-395.  

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    研究员 无

    工作单位:上海第二工业大学

    所属领域:数理科学

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