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突破人类思维能力的瓶颈口(5)

2019-11-02 12:47:07 目录:默认 领域:数学 希望交流

摘要: 例 3实数是不可列的? 。

 

例 3实数是不可列的?

 

康托用3种方法来证明实数是不可列的。

 

其中的区间套法先假定实数可列并将其列出,然后在划分区间时选择不含这些实数的区间,最后得到一个与这些实数都不同的公共点,从而“反证”了实数是不可列的。

 

由于区间套的公共点是无法达到的虚拟极限,故从潜无限的角度来看,区间套法并不能证明实数是不可列的。即使从实无限的角度来看,区间长度等于零的公共点也不能再划分区间以避开列出的实数,因此也无法排斥公共点正好是所列出的实数之一的可能性,反证也失败。

 

在对角线证明中,康托认为可以把假定为可列的实数全部列出,然后用可以无限延伸的对角线构筑一个没有列出的新实数,从而也“反证”了实数是不可列的。

 

然而,不可能将无限集的元素事先全部列出,故对角线证明的第一步就错了。事实上,对十进制数,每位小数都有10种取值,故对角线每增加一位,可以列出的实数就会增加十倍,故可以无限延伸的对角线永远都“追不上”同样可以无限延伸且延伸得“快得多”的实数[11],因此,无法排除用对角线构筑的“新数”只是还没有列出的实数之一的可能性,反证失败。

 这里问题的关键其实在于两个无限集之间的相互关系:当两个无限集的元素并不是完全独立的时候,例如,在对角线法中,m位对角线小数至少要与10m个实数相对应(区间套法中倒不存在这个问题),那么,其中变化较慢的无限集是永远“追”不上变化较快的无限集的。康托其实是把其中一个无限集(实数)想象成静止不变的实无限,然后用另一个(对角线)可无限延伸的潜无限来“追”实无限,结果当然是“追”得上的。但问题在于一厢情愿的实无限静止想象不能成立!

国内也早有不少人从各种角度对对角线法进行了质疑[13-14]

 

在实无限想象下,即在认为{1,2,3,…}已经将所有的自然数都列出来的条件下,康托证明了康托定理。但对于实际上可以无限延伸的潜无限集,康托定理并不成立[12]。故康托定理也没有证明实数不可列。

 

邻距的存在实际上已经直观地告诉人们实数是可列的:很难想象,在实数轴上有间距且一个不漏地一一列出的实数是不可列的。

 

潜无限小数的可列性是不证自明的:n®∞时,对于任意大的n, 不难用数学归纳法证明[01)内有10nn位小数。

 

即使对实无限小数,也已有多种方法可以将实数一一列出[12,14-15]。文献[12]的方法如下:

 

先将实无限自然数集A={123…}的所有幂集元素一一列出:

 

P (A)={ {}{1}, {2}, {1, 2} , {3} , {2,3}, {1,3}, {1,2,3}….{1,2,3,…}}             (2)

 

上式中的各元素可与[01)内所有的二进制实数一一对应:

 

{ 0.00…0.100…0.0100…0.1100…0.00100…0.01100…, 0.10100…, 0.11100…,  0.111…}   (3)

 

不难看出,上述对应的方法是:幂集元素里的自然数表示二进制小数中等于1的小数位数。例如,{1, 2}表示第12位小数为1,其余均为0的小数0.1100…

 

注意在(3)式中,与(2)式最后一个幂集元素{123…}对应的是[01)内最大的无限小数0.111…,说明在该数之前,所有比该数小的二进制实无限小数已都被一一列出,即(3)列出了区间内所有的实无限小数。用同样的方法可以列出其他区间的二进制实数,即二进制实数是可列的,换算成十进制后当然也是可列的。

 

实数不可列被证伪后,误导并困惑数学界达一百多年的所谓超限数理论和连续统假设等也都不再有任何讨论的必要,集合论和数学基础将变得十分简洁

 

以上例子说明,通过清楚地细分相关概念可以克服思维混沌,从而大幅度地提升人们对世界的认识水平。

 

另外,编程时,由于任何的不严格都会导致程序不能正常运行而被及时发现,故经常参与计算机编程也可以有效地避免思维混沌。

 

    参考文献:

    [11] 李鸿仪. 对角线证明中的问题(精要版)
    http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVUVxu
    [12]李鸿仪.康托定理并没有证明实数不可列
    http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVcV0u
    [13]黄汝广.浅谈反证法的可操作性——基于康托尔对角线法、哥德尔不完全性定理、图灵停机问题及EPR悖论[J],大众科技, 2016(9):94-97.
    [14]何华灿,何智涛.统一无穷理论[M].北京:科学出版社,2001.
    [15]李鸿仪. 证明实数可列的一种简单方法(详细版)

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    研究员 无

    工作单位:上海第二工业大学

    所属领域:数理科学

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