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关于康托悖论的对话 2019-05-16 21:27:37

目录:默认 领域:数学 希望交流

李鸿仪甲 什么叫康托悖论啊! 乙 康托悖论源于幂集的元素比原集多 甲 什么叫幂集啊?  乙 比如说一个班级有N个人,我们可以用用集合A表示这个班级,将每个人的学号作为集合的元素.于是得到包括N个元素的集合 A={1,2,3…..N} 然后可以成立很多兴趣小组。规定1)没有人参加的兴趣小称为空集,用{}表示;2)一个人可以参加多个兴趣小组3)人员组成相同的兴趣小组合并成一个兴趣小组。把这些浏览全文

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目录:默认 领域:数学 希望交流

摘要:由于任何一个实数都可以在实数轴上找到点,因此实数已经在实数轴上用几何方式被一一列出.本文进一步给出了用非几何方法将实数一一列出的方法.由于实数不可列理论是现有实数理论中的基石,一旦该理论不成立,很多相关的数学分支例如测度论等都有必要加以重新审视甚至重建。

关键词:数学基础;实数理论

 李鸿仪版权所有,引用请给出出处 由于任何一个实数都可以在实数轴上找到点,因此实数轴实际上已经把实数在实数轴上用几何方式一一列出。然而,康托似乎并没有注意到这个明显的事实,反而用区间套法或对角线法"证明"了实数是不可列的。文献[1,2]认为其推导是不严格的。 另外一个似乎能“有力地”支持实数不可列的理论是康托定理.康托定理表明,对任何集合,其幂集的基数要大于该集合的基浏览全文

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目录:默认 领域:数学 希望交流

摘要:由于对角线证明隐含了一个并不成立的假定,因此并没有严格地证明了反证法所需要的矛盾必然存在,看似完美无缺的对角线证明实际上并不成立。这是否会在数学界和逻辑学界引起人们对数学证明究竟是否可靠的怀疑甚至恐慌?这里问题的关键其实在于两个无限集合之间的相互关系:当两个无限集合的元素并不是完全独立的时候,例如,在对角线法中,m位对角线小数至少要与10^m个实数相对应,那么,其中变化较慢的无限集是永远跟不上变化较快的无限集的,这时,推导就要分外小心:此无限未必一定能覆盖彼无限!由于对角线法应用广泛,所有应用对角线法的证明,是否都应该重新审视这一点?

  对角线法简述如下(反证法): 先假定[0,1)内的实数是可列的,并将其全部列出,  x1,x2,x3, … (1) 然后用对角线构筑一个不同于(1)的新实数,与假定矛盾,从而反证了实数是不可列的。 构筑新实数的方法如下: 设 x1=0.a11a12a13… x2=0.a21a22a23… x3=浏览全文

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目录:默认 领域:数学 希望交流

摘要:在用对角线法证明实数的不可列定理时,康托先假定[0,1)内的实数是可列的,并将其列出来,然后用对角线构筑一个没有列出来的的新实数,从而反证了实数是不可列的。为了保证构筑出来的的实数确实是新的,对角线必须到达所有列出来的实数.但本文给出了一个反例,证明对角线不可能到达所有列出来的实数, 因此无法保证用对角线构筑的实数确实是新的,反证不成立。

 对角线法简述如下: 先假定[0,1)内的实数是可列的,并将其全部列出来, x1,x2,x3,…..                       &n浏览全文

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目录:默认 领域:数学 希望交流 hyli@sspu.cn

摘要:在各种定义无理数的方法中,戴德金分划是相对最严谨的,因此被广泛奉为经典,且似乎从未被质疑。本文证明了任意两个有理数之间有无限个无理数,故有理数的第三类分划Q’|Q并不对应于唯一的无理数,因此用该分割无法定义无理数。This paper proves that there are infinite irrational numbers between any two rational numbers, so the third-class division Q'|Q of rational numbers corresponds to an infinite number of irrational numbers, so the irrational number cannot be defined by Dedekind cut.

关键词:数学基础;戴德金分划;无理数

一般认为,在定义无理数的方法中,戴德金分划是最严谨的。但本文发现,该方法不能成立。 本文统一用无限小数表示实数[1],例如          1      可以表示为1.000...(或0.999...,但为了统一表述,本文不采用这种方法)浏览全文

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目录:默认 领域:数学 希望交流 hyli@sspu

摘要:本文证明了,不同的后继数定义将给出不同的"自然数",因此,若要给出明确的自然数,首先就必须给出明确的后继数定义,而一旦给出该定义,实际上就已经用了公理所要定义的自然数及其四则运算,从而形成无意义的逻辑循环。因此,皮亚诺公理无法定义自然数.This paper proves that different successor definitions will give different "natural numbers". Therefore, to give a clear natural number, we must first give a clear definition of the successor, and once this definition is given, it will actually form a meaningless logical loop.

关键词:数学基础;自然数;皮亚诺公理;后继数

在一些著作中常常有所谓用皮亚诺公理[1] 来定义自然数和加法并证明1+1=2的表述。但这些“推导”却经不起推敲。皮亚诺公理的5条公理为:1)0是自然数;2)若n是自然数,n的后继数n’也是自然数;3)0 不是任何自然数的后继;4)不同的自然数有不同的后继;5)设p(n)是某个自然数n的性质,若p(0)为真,且能在假设p(n)为真的条件下证明p(n’)也为真,则对任意自然数,p(n)为真。 浏览全文

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目录:默认 领域:数学 希望交流 hyli@sspu.cn

摘要:在同一律、矛盾律和排中律这三大定律都成立的论域即可行域内,若前提可靠,推理严格,是不应该出现任何悖论的。发现1902-1903年就提出且至今未真正解决的罗素悖论是由于没有注意到集合产生的先后次序和因果关系,陷入了无意义的逻辑循环后又一再违反了同一律所致,实际上并不存在。一百多年来,数学界、​逻辑学界和哲学界因为该悖论而导致的大量变化,都应该重新审视。Russell's paradox is due to violate the identical law after into a meaningless logical cycle caused by neglecting the order and causality of the sets. The paradox actually does not exist.

关键词:数学基础;罗素悖论;集合论;可行域; 逻辑学

在同一律、矛盾律和排中律这三大定律都成立的可行域内,若前提可靠,推理严格,不应该出现悖论[1]。罗素"悖论"也如此。罗素将各种集合S分成两类: S∈S 的正常集合和S∈S 的不正常集合,设R={S|S∈S}                &浏览全文

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目录:默认 领域:数学 希望交流

摘要:同一律,矛盾律和排中律三大规律都成立的讨论域称可行域,只要讨论不偏离可行域,且前提和推导高度可靠,所有的悖论都不会存在。以该理论为基础,讨论了因为偏离可行域而产生的说谎者悖论和理发师悖论,因为推导不严格所产生的芝诺悖论和前提不可靠的蛋鸡悖论。如果讨论的范围比较大,明显不在可行域内,可以把讨论范围细分,使得每一个小范围都是可行域,则不但可以避免悖论,而且还可以扩大形式逻辑的适用范围.采用这种方法,形式逻辑还可以用到社会科学,且形式逻辑和辩证法也可以统一起来。

关键词: 数学基础,可行域,悖论

         任何一个有一定素养的数学家或是在数学领域内有所建树的数学工作者,一旦进入数学基础的领域,通常都会感到头晕:这里存在着大量在其他严格的数学分支看不到的悖论。         本文研究产生悖论的原因.&nb浏览全文

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