关于在连续2n个整数中存有不被小于n的素数整除的数的论证

高学*

（内江星原电力集团有限责任公司）

2.02.0Neijiang xingyuan power group co. LTD内江星原电力集团有限责任公司6411121739040284817390402848四川省内江市东兴区五星路南段346号2幢4单元9号gaoxue08269655@163.com高学（1990-），男，主要研究方向：电力系统，初等数论高学Gao Xue高学 2.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.01*|*专著*|*潘承洞，潘承彪.高等学校数学教材初等数论 [M].北京;北京大学出版社，2003.<CR>2*|*专著*|*张君达.数论基础[M].北京;北京科学技术出版社，2002.<CR>3*|*期刊*|*柯召.数论讲义·上册[M].北京:高等教育出版社，2001.<CR>4*|*期刊*|*王俊明.排列组合与概率 [M].北京:浙江大学出版社，2007.关于在连续2n个整数中存有不被小于n的素数整除的数的论证|An argument for the existence of a number in 2n consecutive integers that is not divisible by primes less than n|*|1|高学|Gao Xue|内江星原电力集团有限责任公司|Neijiang xingyuan power group co. LTD|高学（1990-），男，主要研究方向：电力系统，初等数论|四川省内江市东兴区五星路南段346号2幢4单元9号|641112|gaoxue08269655@163.com|17390402848|17390402848

摘要：本文研究了素数分布的问题，创造了两种新的筛选方法，获得了在连续2n个整数中存有不被小于n的素数整除的数的结果，提供了素数相关问题的解决途径。

关键词：筛选；余数；差值；素数分布；

中图分类号：0156.1

An argument for the existence of a number in 2n consecutive integers that is not divisible by primes less than n

Gao Xue

(Neijiang xingyuan power group co. LTD)

Abstract: This paper studies the problem of prime distribution , and creates a new screening method. The result is obtained that the existence of a number in 2n consecutive integers is not divisible by primes less than n. This paper also provides the solution of prime-related problems.

Key words: screening; remainder; difference value; prime distribution;

引言

本文对传统筛选法进行了改良，重新定义了两种筛选方法，并有机地结合起来，得到了在连续个整数中存有不被小于的素数整除的数的结果，此结果可为一些素数分布问题提供重要解决途径。

两种筛选法

1.1 定义

定义1 在整数中，将除以余的数筛选出来，称这种筛选方式为单余数筛选法，并将此筛选关系表示为，其中为单余数条件，为筛选余数,为系数。表达式也可简化为或。

定义2 在整数中，筛选出一组相差为的两个整数，称这种筛选方式为差值筛选法，并将此筛选关系表示为，其中为差值条件，为差值筛选数,。

1.2 域内区和域外区

在整数中，任意选取若干个整数作为域内区，域内区的数称为域内区数，未选取的整数作为域外区，域外区的数称为域外区数。

1.3 选择与除去

筛选方式具有选择性和除去性。当筛选方式是选择时，表达式为、。当筛选方式为除去时，表达式为、。

筛选数选择筛选次数减去除去筛选次数的差称为该数的筛选净值,记作，多个筛选数筛选净值之和记作。域内区筛选数的净值称为域内净值。

2 对称余数和差值对称数

2.1 定义

定义3 选取连续的个整数为域内区，的筛选余数为，当满足时，称为条件在域内区内的对称余数。

定义4 选取连续的个整数为域内区，为奇数，筛选的数是、，，当满足时，称、为条件在域内区内的差值对称数组。

2.2 对称偏移

定义5 选取连续的个整数为域内区，条件对称余数为，筛选余数为，称为条件在域内区内的偏移量，其中大于0为右偏移，小于0为左偏移。

定义6选取连续的个整数为域内区，条件差值对称数为、，差值筛选数为、，称或为条件在域内区内的偏移量，其中大于0为右偏移，小于0为左偏移。

已知和，若存在情况时，称和偏移一致。

2.3 中心数

选取连续的个整数为域内区，称和为该域内区的中心数。

3. 筛选条件的相关概念

3.1 差值条件的分类

已知域内区为连续的个整数，当差值条件时，称该条件为域内差值条件，当差值条件时，称该条件为域外差值条件。

已知域内区为连续的个整数，当差值条件在域内区只筛选了一个数，称该条件为单筛差值条件，当差值条件在域内区筛选了两个数，称该条件为双筛差值条件。单筛差值条件和双筛差值条件统称为有效差值条件，其余为无效差值条件。

3.2 单余数条件的分解

定义7 选取连续的个整数为域内区，在单余数条件筛选的数中，小于或等于最大数为，大于或等于最小数为，若将筛选的数等效换成、 筛选，称为单余数条件的差值分解。

从定义7中可以得出分解后的差值条件是单余数条件的奇数倍。若是奇数，分解后的差值条件也为奇数。

4 简因数筛选法

4.1 简因数定义

定义8 对一个整数进行素因数分解，若分解为N个未出现重复的不同因数（1除外）乘积，则称该数为N阶简因数。如素数是一阶简因数，是二阶简因数，是三阶简因数，中3出现重复，故不是简因数。

4.2 简因数筛选法定义

定义9 选取连续的个整数为域内区，满足以下几个条件，称其为简因数筛选法。

（1）选取作为差值条件并筛选域内区中心数。

（2）选取内的N阶简因数作为单余数条件，称为N阶单余数条件，N为奇数时为选择状态，N为偶数时为除去状态，其多阶单余数条件筛选的数是一阶单余数共同筛选的数。

4.3 差值条件的分类表达式

用或表示差值条件的分类，其中表示域内，表示域外，表示选择，表示除去，时表示单筛，时表示双筛。或表示或在的筛选净值。或表示或的域内净值。

4.4 域外拓展

在简因数筛选法中，若某域内区数被一阶单余数筛选，但其筛选净值小于1，则添加第一组域外差值条件使其筛选净值等于1，再对单余数条件进行差值分解，其中，，在此基础上添加第二组和第三组域外差值条件并满足以下几个条件，称其为拓展条件并称该添加方式为域外拓展。

（1）第二组域外差值条件个数为，当时，为选择状态，当时，为除去状态。

（2）第三组域外差值条件个数为，当时，为选择状态，当时，为除去状态。

（3）为选择状态时，域外差值条件应从小到大选取大于的奇数阶简因数，为除去状态时，域外差值条件应从小到大选取大于的偶数阶简因数。

（4）第二组和第三组域外差值条件可筛选域内区任意数。

5 相关推论

定义10

推论1 已知域内区为，为域外条件，则不存在双筛状态。

证明：假设存在为双筛，则有，得，又因,得，与双筛矛盾，故不存在双筛状态，命题成立。

推论2 在简因数筛选法中，对单余数条件进行差值分解，若所有有效条件都是双筛状态，其在域内净值之和等于。

证明：因为所有条件都是双筛，根据推论1得差值条件只能是域内条件。已知为小于的奇数，在它的因数中含有个不同素数，设为、，是由、中任意几个组成的简因数且，是的奇数倍，根据定义7得在的差值分解中将含有条件且是双筛状态。

当为一阶选择单余数时，共有种，净值之和为，当为二阶除去单余数时，共有种，净值之和为……分解后的筛选净值之和为，对定义10取、,移项后得即筛选净值之和为2。

因为内有个奇数，故域内净值之和为，命题成立。

从推论2的推导过程中也可得出与的个数差为。

推论3 在简因数筛选法域外拓展情况下，其所有条件的域内净值之和为。

证明：已知的净值比其作为时要少，的净值比其作为时要少，的净值比其作为无效条件时要多，的净值比其作为无效条件时要多。根据推论2得，在域内条件双筛，不存在域外条件时，其域内净值之和为。故只添加了第一组拓展条件情况下，其域内净值之和为

添加第二组和第三组拓展条件的净值为

相加后，得出所有条件的域内净值之和为，命题成立。

推论4 在简因数筛选法域外拓展情况下，单筛选择次数为，双筛选择次数为，当把和转化为域外区数时，变化为

。

(简记为，下同)

证明：若被筛选，当为非时，去掉后该条件变成，增加个，则增加个，当为时，去掉和成为了无效条件，不变；

若被筛选，设该条件筛选另一个值，因为单筛，所以在域内区外，即,得与域内条件或条件是奇数矛盾，故不存在这种情况；

若被筛选，去掉后该条件为无效条件，减少个，则增加个；

若被筛选，根据推论1得该条件不存在。

故去掉拓展净值变化为。

同理可证明去掉拓展净值变化为。

又因原单筛选择由域内条件变成域外条件，要减少个，要增加个，故的变化为。

故相加后，得出拓展净值变化为，命题成立。

推论5在简因数筛选法域外拓展情况下，单筛除去次数为，双筛除去次数为，把和转化为域外区数时，拓展净值变化为。

证明：推导过程同推论4。

推论6 在简因数筛选法域外拓展情况下，只有所有偏移为0时，其所有数的筛选净值都大于0。

证明：（1）当时，筛选区为，有条件、并对差值分解。

若、时，无拓展条件添加，偏移为0，其所有数的净值大于0，符合命题要求。

若，时，可添加一个拓展条件，但中必有1个数筛选净值为0，则偏移不为0不能满足所有数的筛选净值大于0，符合命题要求。

若，时，可添加一个拓展条件，但中必有1个数筛选净值为0，则偏移不为0不能满足所有数的筛选净值大于0，符合命题要求。

（2） 假设时，命题成立。

（3） 当时，假设偏移不全为0，其所有数的筛选净值都大于0，根据推论2可得，，现把和转化为域外区数，设单筛选择次数为，双筛选择次数为，单筛除去次数为，双筛选择次数为。

根据推论2得选择次数比除去多1个，故有，又因，根据推论4的推导过程可得、、、得

合并后得

变化和变化之和为0，可令增加或减少净值用减少或增加的进行互补，从而得每个数筛选净都大于0与假设矛盾。故假设偏移不全为0，其所有数的筛选净值都大于0不成立，从而得命题成立。

综上所述，命题成立。

推论7 在连续个数中存有不被内奇素数整除的数

证明：假设不成立。对所有条件筛选余数都取0，每个域内筛选数都会被一阶单余数筛选，根据拓展条件的定义，可得在不考虑筛选，添加第一组拓展条件时，域内筛选数的筛选值都大于0，考虑后，其域内筛选净值要大于。根据推论3得，在添加第二组和第三组拓展条件后，域内筛选净值为，故第二组和第三组拓展净值和为负，可令其筛选净值大于1的数，从而得出在域外拓展情况下，域内筛选数的筛选值都大于0，根据推论6得其的偏移都为0，从而得未筛选中心数，与不考虑筛选，添加第一组拓展条件时，域内筛选数的筛选净值都大于0矛盾，因此，存在不被内奇素数整除的，命题成立。

推论8 在等差数列中，选取为域内区，公差与内所有奇素数互素，则在域内区中存有不被内奇素数整除的数。

证明：已知内的奇素数为、,能被、整除，则选取公差为1的等差数列使其能被、整除。

若在中的能被整除，则即能被整除，可得能被整除，则也能被整除，因此等差数列和与、的整除关系是一一对应的。

根据推论7可知，存有不能内奇素数整除的数，则存有不能内奇素数整除的数，命题成立。

推论9 在连续个自然数中存有不被小于的素数整除的数。

证明：设个数为。若为奇数，在和选取一组奇数等差数列，其项数为。若为偶数，在和选取一组奇数等差数列，其项数为。根据推论8可知，存有不被或内奇素数整除的数，因为选取都是奇数，所以存有不被内的素数整除的数，故命题成立。

6 结论

本论初步建立了两种筛选方法的相关概念和性质，针对筛选法还有许多性质需要讨论。笔者相信，通过对筛选法地深入研究，我们还可以解决其他素数问题。

[参考文献] (References)

[1] 潘承洞，潘承彪.高等学校数学教材初等数论 [M].北京;北京大学出版社，2003.
[2] 张君达.数论基础[M].北京;北京科学技术出版社，2002.
[3] 柯召.数论讲义 上册[M].北京:高等教育出版社，2001.
[4] 王俊明.排列组合与概率 [M].北京:浙江大学出版社，2007.

作者简介：高学（1990-），男，主要研究方向：电力系统，初等数论. E-mail: gaoxue08269655@163.com