基于两种效应的RSM多响应优化方法研究

施亮星，吴帆*

（天津大学管理与经济学部，天津，300072）

2.02.02.02.02.02.0College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072；College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072天津大学管理与经济学部，天津，300072;天津大学管理与经济学部，天津，300072300072;30007218602610662;1382086963102227891330;天津市南开区卫津路92号天津大学25教学楼A区;天津市南开区卫津路92号天津大学25教学楼A区401shi@tju.edu.cn;wufan2012@tju.edu.cn施亮星(1977-),男,副教授,博导,主要研究方向:质量管理;吴帆(1994-),女,主要研究方向:质量管理施亮星;吴帆SHI Liangxing;WU Fan施亮星 2.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.02.01*|*期刊*|*MYERS R H, CARTER W H. Response Surface Techniques for Dual Response Systems[J]. Technometrics, 1973, 15: 301-317.<CR>2*|*期刊*|*KIM K J, LIN D K J. Optimization of multiple responses considering both location and dispersion effects[J]. European Journal of Operational Research, 2006, 169(1): 133-145.<CR>3*|*期刊*|*LEE M S, KIM K J. Expected desirability function: consideration of both location and dispersion effects in desirability function approach[J]. Quality Technology & Quantitative Management, 2007, 4(3): 365-377.<CR>4*|*期刊*|*PIGNATIELLO J J. Strategies for robust multiresponse quality engineering[J]. IIE Transactions, 1993, 25(3): 5-15.<CR>5*|*期刊*|*VINING G G. A compromise approach to multiresponse optimization[J]. Journal of Quality Technology, 1998, 30(4): 309-313.<CR>6*|*期刊*|*KO Y H, KIM K J, JUN C H. A new loss function-based method for multiresponse optimization[J]. Journal of Quality Technology, 2005, 37(1): 50-59.<CR>7*|*期刊*|*OUYANG L H, MA Y Z, WANG J J, TU Y L. A new loss function for multi-response optimization with model parameter uncertainty and implementation errors[J]. European Journal of Operational Research, 2017, 258(2): 552-563.<CR>8*|*期刊*|*CHEN H W, XU H Q, WONG W K. Balancing location and dispersion effects for multiple responses[J]. Quality Reliability Engineering International, 2013, 29(4): 607-615.<CR>9*|*期刊*|*OUYANG L H, MA Y Z, BYUN J H. An integrative loss function approach to multi-response optimization[J]. Quality and Reliability Engineering International, 2015, 31(2): 193-204.<CR>10*|*期刊*|*SHAH H K, MONTGOMERY D C, CARLYLE W M. Response surface modeling and optimization in multiresponse experiments using Seemingly Unrelated Regressions[J]. Quality Engineering, 2004, 16(3): 387-397.<CR>11*|*期刊*|*HU Z, CAI M, LIANG H H. Desirability function approach for the optimization of microwave-assisted extraction of saikosaponins from Radis Bupleuri[J]. Separation and Purification Technology, 2008, 61(3): 266-275.<CR>12*|*期刊*|*PLANTE R D. Process capability: A criterion for optimizing multiple response product and process design[J]. IIE Transactions, 2001, 33: 497-509.基于两种效应的RSM多响应优化方法研究|Evaluate Location and Dispersion Effects in Multiresponse Optimization when Correlations Considered|*|1|施亮星|SHI Liangxing|天津大学管理与经济学部，天津，300072|College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072|施亮星(1977-),男,副教授,博导,主要研究方向:质量管理|天津市南开区卫津路92号天津大学25教学楼A区|300072|shi@tju.edu.cn|02227891330|18602610662<CR>|2|吴帆|WU Fan|天津大学管理与经济学部，天津，300072|College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072|吴帆(1994-),女,主要研究方向:质量管理|天津市南开区卫津路92号天津大学25教学楼A区401|300072|wufan2012@tju.edu.cn||13820869631

摘要：在多响应优化问题研究中，权衡响应的位置效应与分散效应是十分重要的内容。本文提出了基于响应的位置与分散效应构建的损失函数方法，在考虑多响应间相关性的情况下，权衡位置与分散效应的相对重要性，以获得符合试验者期望的最优输入因子组合。此外，本文同时允许试验者对比不同权重水平下响应位置效应与分散效应的损失水平及变化趋势，从而为其遴选出最理想的输入因子组合提供有效信息。实例分析结果表明，在多响应优化问题中，本文方法适用于更多实际情境，且更为有效。

关键词：生产与质量管理；响应曲面优化；多响应；相关性；分散效应；损失函数

中图分类号：

Evaluate Location and Dispersion Effects in Multiresponse Optimization when Correlations Considered

SHI Liangxing, WU Fan

(College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072)

Abstract: Location and dispersion effects play different roles in a multiresponse problem, therefore, balancing them at different levels in the optimization process is an important and challenging topic for any designers. In this paper, we propose to use loss function tackling the relative importance of the location and dispersion effects simultaneously, at the same time considering the responses’ correlations. Instead of fixing the relationship between the location and dispersion effects, our approach works out more compromise solutions versus their relative importance. which allows for a flexible choice when designers balancing the location and dispersion effects for multiple responses. Examples are used to furtherly illustrate its advantages.

Key words: quality management; response surface methodology; multiresponse optimization; correlations; dispersion effect; loss function

引言

在产品或过程设计阶段，试验者往往关注于产品的多个质量特性，这些特性常由可控因子与噪声因子所共同影响。基于响应曲面方法（Response Surface Methodology，RSM）的多响应优化方法，便是研究这多个质量特性与可控因子之间的关系，并确定符合试验者期望的最优因子水平。在多响应优化方法中，质量特性也被称为响应，可控因子也被称为输入因子。当研究多个响应与一组输入因子之间的关系时，响应之间往往是高度相关的，因此，在对多个响应与因子关系进行建模与优化过程中，须得考虑响应间的相关关系，否则将与实际产生较大偏差。

起初，对于多响应优化的研究均假设响应在不同的输入因子水平下具有相同的方差，即只关注于响应的位置效应（Location effects）。然而实际中却往往并非如此，由于噪声因子的存在，当因子水平变化时，响应常呈现不同水平的波动。Myers和Carter[1]随后提出将响应的分散效应（Dispersion effects）与其位置效应一同考虑，即在对响应的优化过程中，既考虑响应值水平是否接近目标值，也考虑响应的波动情况，从而获得一组使响应在其目标值水平上表现稳健的最优输入因子组合。目前，在对多响应优化时同时考虑其位置效应与分散效应的研究中，多采用满意度函数方法[2]-[3]和损失函数方法[4]-[7]。

然而Chen et. al[8]曾指出，在实际中，由于多响应问题的各异，试验者对于位置效应与分散效应的看重程度存在差异，如在NTB（nominal-the-best）型问题中，试验者或许更看重响应的分散效应，即期望其响应值具有尽量小的波动。因此，位置效应与分散效应的相对重要关系就显得十分重要。现有研究中，Chen et. al的研究虽然应用满意度函数对多响应的位置效应与分散效应的相关关系进行了考量，但该方法却忽视了多响应间的相关关系。Ouyang, Ma and Byun[9]的方法虽然考虑了多响应的相关关系，以及两种效应之间的权重，然而由于其考量的是损失函数而非响应的位置与分散效应，结果在一定程度上存在偏差，下一章将对此作进一步说明。

本文方法将在考虑响应间相关关系的情况下，同时对响应位置效应与分散效应间的相对重要性进行考量。并且，允许试验者通过对比不同权重水平下位置效应与分散效应的水平及变化趋势，辅助其作出最优选择。本文具体结构如下。第一部分对现有的均方损失函数方法，及其对两种效应的考量所存在的缺陷进行了回顾；第二部分提出了基于两种响应的损失函数方法，以解决考虑响应间相关关系的情况下，对位置与分散效应间相对重要性的反映；第三部分介绍了应用本文方法，对比不同权重水平下位置效应与分散效应的水平及变化趋势的具体步骤；第四部分通过实例、与前人方法对照，验证和说明了本文方法的有效性及优势；第五部分得出了本文研究的结论。

均方损失函数方法回顾

在对多响应位置效应与分散效应的研究中，Chen et. al等提出的应用满意度函数的方法，始终对多响应间的相关性欠缺考量。Ko et. al[6]提出均方损失函数的方法，通过响应的方差协方差矩阵来考虑响应间的相关性。如下式所示，是响应的方差协方差矩阵，而为预测响应值的方差协方差矩阵，是由响应的目标值所组成的向量，是由试验者依据过程经济性为不同响应发生偏离时造成的损失所定义的正定矩阵。式中的三项可分别表示为，由于响应偏离目标值所产生的损失罚数，所拟合的模型预测质量较差所导致的损失罚数，和由于响应值具有较大的波动而产生的损失罚数。该方法通过最小化三个损失罚数和，来求得最优的因子水平组合。

(1)

这一方法通过考虑响应的位置效应，由考虑响应的分散效应，并通过矩阵对各个响应位置效应间的相对重要关系，及各分散效应之间的相对重要性进行考量，然而却仍然忽视了响应的位置效应与分散效应之间的相对重要关系。另外，值得一提的是，由于各位置效应之间和分散效应之间的相对重要关系均通过同一矩阵来进行考虑，使得二者必须保持一致，即当某一响应的位置效应具有较高权重时，其分散效应也同时更被看重。然而在现实中，二者的关系应当尽量灵活，尤其是当响应的类型不同时，试验者对于他们的位置效应与分散效应往往会有不同的看重程度。

Ouyang et. al[9]在Ko et. al[6]方法的基础上，又定义了损失函数的方差，如下式所示，

(2)

式中。

该方法进一步通过权重系数和来考量损失函数的位置与分散效应之间的相对重要性关系，通过最小化二者的和来求得最优因子组合。如公式（3）所示，其中即为公式（1）中的。

(3)

由公式（2）可知，损失函数的方差的表达式中也包含了三项损失罚数，和，即损失函数的方差，除了受到响应的分散效应表现的影响之外，还受到响应的位置效应和模型预测质量的影响。因此，通过损失函数的位置与分散效应之间的关系来衡量响应的两种效应之间的关系将存在一定偏差，在这一方法下求得得最优解，可能与试验者的实际期望不符。

基于位置与分散效应的损失函数方法

拟合响应的位置效应和分散效应

考虑有 个响应变量 和个输入因子的多响应问题。假设每个因子水平下都进行重复试验，则可用第个响应在每个因子水平上重复试验得到的平均响应值作为其位置效应的衡量。可对其构建模型，

(4)

其中，为回归参数，在考虑响应相关关系的情况下，可以通过似不相关回归方法（SUR）对其进行估计[10]，为且的随机误差。

同时，以第个响应重复试验的标准差响应作为其分散效应的衡量。由于正态性假设的要求，通常不直接对标准差响应建模[8]，通过对其根号形式建模的方法构建模型，有，

(5)

与均值模型相似，可通过SUR方法进行拟合来获得，为均值为0方差为的随机误差。

构建损失函数

定义新的响应向量 为，

(6)

其由均值响应和标准差响应共同组成。值得一提的是，的第项与第项分别表示来自于同一个响应的均值和标准差响应。

假设响应的均值的目标值为，标准差的目标值为。则定义的目标值向量为，

(7)

于是，我们构造关于的损失函数为，

(8)

其中，表示响应的估计值向量， 是一个由试验者主观定义的正定损失矩阵，如公式（9）所示，矩阵中各元与一一对应，其值的相对大小，反映了对应的均值或标准差响应之间的相对重要关系。在2.3章节中，我们将详细讨论矩阵的含义及取值。

(9)

由Vining[6]中对于损失的期望的定义，则有

(10)

这里，表示响应的估计值的方差协方差矩阵。

式（10）中第一项表示由于响应偏离目标值，或其在其均值水平上具有较大波动所导致的损失罚数，其通过矩阵考虑响应的位置效应、分散效应、及其二者间的相对重要性关系（关于矩阵的更多讨论详见2.3节），因而能够对选定输入因子水平下响应的位置与分散效应同时进行衡量。一般地，可以看作是对的无偏估计，则为关于输入因子的函数。

式（10）中第二项则表示由于模型预测质量较差所导致的损失罚数。可以由公式（11）和公式（12）求得，

(11)

(12)

其中，若以为第个响应的回归模型矩阵，则表示其对应的回归因子水平。来自的方差协方差矩阵，可以进一步写成子矩阵的形式，

(13)

其中，子矩阵表示均值响应之间的方差协方差关系，表示标准差响应之间的方差协方差关系，和表示与之间的协方差关系。则，，和均可以在由SUR方法对和进行拟合的过程中求得，为关于的函数。

由此，即为关于输入因子的函数，则最优因子水平可通过在区间内最小化求得。

矩阵的选择

本文所提出的方法通过调节损失矩阵，实现试验者对于响应的位置效应、响应的分散效应、及其二者之间的相对重要关系的不同期望。

损失矩阵中的各元表示对应的响应与其目标值偏离时所造成的损失，如式（14），矩阵也可以进一步写成四个子矩阵，，和的形式，分别表示由响应的均值与目标值的偏离、响应的标准差与目标值的偏离、以及二者同时偏离目标值时所产生的损失。

(14)

在现有对损失函数的研究中，对于损失矩阵的取值通常有两种建议，

是一个完全由试验者主观定义的矩阵，矩阵的对角元表示对应响应偏离目标值所产生的损失，其相对大小反映了对应响应之间的相对重要性，非对角元则表示当对应的两个响应同时偏离目标值时产生的损失[4]。

Vining[5]提出考虑到由于响应变量测量规格（Measurement Scales）不统一所带来的影响，可以在损失矩阵的取值中引入方差协方差矩阵，从而在一定程度上削弱该影响。则损失矩阵的值可以由获得，其中是响应的方差协方差矩阵，是一个对角矩阵，其对角元表示对应响应间的相对重要性关系，由试验者主观定义。

当是一个完全由试验者主观定义的矩阵时，应为一个对称阵，其子矩阵和均为对称矩阵；与互为逆矩阵，对应的各子矩阵元具有相同的含义。

子矩阵和可分别写为，

(15)

(16)

其中，的各主对角元表示当对应响应的均值偏离其目标时造成的损失，其余各元则表示，当对应的两个响应的均值均偏离其目标时造成的损失。试验者可以通过调节矩阵中各元的相对值大小，来表达其对于各元对应的不同响应的均值表现的看重程度。一个较大的矩阵元表示着试验者对于某响应（或某两个响应）的均值表现更为严格，即其一旦偏离目标值，将造成较大的损失。

与相似，的各主对角元表示当该响应的标准差偏离其目标值时造成的损失，其余各元表示当两个响应的标准差均偏离其目标值时造成的损失。试验者通过调节各元取值，来表达其对于该响应稳定性的要求。一个较大的矩阵元表示，试验者希望在最优因子水平下，该响应取值具有较小波动，即不随重复试验次数的增加而产生较大的变化。

和各自的取值是响应的位置效应之间、分散效应之间的权重关系的体现，其二者之间的相对大小则反映了响应的位置效应与分散效应之间的相对重要关系。此外，在本文方法中，的取值与完全独立，从而允许试验者对响应的位置与分散效应设置不同的重要性水平，相较于Ko et. al[6]的方法中默认二者一致的设置，更为适应实际需求。

对于和，由于二者对应的矩阵元具有相同的含义，故只对其一进行讨论。以为例，

(17)

其次对角元表示和同时偏离目标值，即响应的均值和标准差表现均不理想时所造成的损失，其余各元则表示不同响应的均值和标准差各自偏离目标值时造成的损失。

矩阵中，不仅和之间的相对大小能够反映响应的位置效应与分散效应之间的相对重要性，子矩阵和中的各元也同时辅以反映试验者对于响应的位置与分散效应的不同期望。

当由获得时，其可以进一步写成，

(18)

与均为对角阵，分别为，

(19)

(20)

其中，各主对角元表示当其对应的均值响应偏离目标时造成的损失，的相对大小，反映了不同的响应的均值之间的权重关系，其值越大，则其对应的响应的均值偏离目标值时造成的损失越大，从试验者的角度来看，对该响应的均值表现要求更高。同理，各主对角元表示当该响应的标准差偏离其目标值时造成的损失，值越大，表明试验者希望该响应在其均值水平上具有更小的波动。 与之间的相对大小反映了响应的位置效应与分散效应之间的相对重要性关系。

的各子矩阵与各子矩阵之间的关系也可进一步由式（21）-（24）来描述，

(21)

(22)

(23)

(24)

其中，，，和是方差协方差矩阵的四个子矩阵。

与前一种矩阵的取值不同，当通过该方法定义时，试验者对于响应的位置效应、分散效应的期望均通过对对角阵矩阵的定义来反映，并且，矩阵也不再是对称阵，和中的各矩阵元也具有不同的含义。结合公式（21）-（24）可知，与仍分别用于衡量各个响应的位置效应之间的相对重要性，以及分散效应之间的相对重要性；位置与分散效应的相对关系则由与的相对大小，以及 和 两个子矩阵共同表达。其中，解释在对交叉响应损失的衡量中响应的位置效应相对于其分散效应所占的比重，当较大时，可知响应的均值的表现将更多决定交叉响应的损失；同理，反映分散效应对于衡量交叉响应的损失的影响，较大，响应在均值水平上是否稳定将对交叉响应的损失起主要作用。

不同权重水平下的位置与分散效应

如上一章所言，响应的位置效应与分散效应的相对重要性关系主要通过矩阵中与的相对大小，以及 和 两个子矩阵来共同表达，即本文方法能够依据试验者选定的矩阵，为试验者求得在其给定的权重水平下的最优输入因子组合。然而，由于响应变量测量规格（Measurement Scales）的差异的存在，实际中试验者有时难以仅通过数字便精准设定位置与分散效应的相对水平。对此，本文方法能够输出响应的位置与分散效应在不同权重水平下的表现和变化趋势，从而为试验者在选择最优因子组合的判断中提供有效信息。

本章将重点介绍，如何应用效应损失指标的和，来辅助判断矩阵中两种效应的权重水平，以及选择最优输入因子组合。

的等效矩阵，

首先定义矩阵的等效矩阵，其含义为，通过等效矩阵所求得的最优解与原损失矩阵下求解的最优解相同。

由前文描述，矩阵有两种常见的定义形式。若矩阵完全由试验者主观定义，则依照其取值含义，设其为，

(25)

则其有两个等效矩阵，且可分别写为，

或	(26)

若由获得，且假设其写为，

(27)

则其等效矩阵为，

(28)

位置与分散效应的衡量指标

2.2节中我们曾提到，响应的位置效应与分散效应所产生的损失可由公式（10）中的第一项罚数来衡量，具体而言，其可进一步由衡量位置效应的损失罚数和衡量分散效应的损失罚数共同组成。与的定义分别如下式所示，

(29)

(30)

其中，由和两部分组成，由和构成，四个矩阵，，和分别如下式所示，当中的非零子矩阵均与矩阵中对应的子矩阵一致，

,

,	(31)

应用效应损失指标辅助决策的步骤

步骤一：选择任意矩阵作为，并求下的最优因子水平，分别计算和的值。由2.3所述，由的定义方式不同，有，

(32-1)

或

(32-2)

步骤二：设置响应位置效应和分散效应之间新的相对关系值（由和调节），得到新的矩阵，求出下的最优因子水平。由的定义方式不同，若由式（32-1）所示，则

(33-1)

可计算矩阵下的效应损失指标的值；若由式（32-2）所示，则

(33-2)

且可计算矩阵下的和值。

步骤三：用的等效矩阵替换，此时所求得的最优因子水平应仍为。由的的定义方式不同，若由式（33-1）所示，则其有两个等效矩阵和，分别为，

,	(34-1)

可分别计算矩阵下的值，以及下的和值。若由式（33-2）所示，则其等效矩阵为，

(34-2)

且可计算下效应损失指标和值。

步骤四：则可求得下的位置效应与分散效应的损失罚数和分别为，

,	(35)

步骤五：重新设置位置效应和分散效应间新的相对重要性关系，并重复步骤二至步骤四，可分别获得不同的损失矩阵水平下对应的位置效应与分散效应损失罚数和。

步骤六：为了能够直观的比较不同矩阵下位置效应和分散效应，我们将和分别进行标准化。由于二者均为STB类型，故可用下式进行标准化，分别得到和。

(36)

(37)

这里，和为0。和则可以分别通过或处于离各自目标值最远的取值处时获得，通常是位于其取值区间的上限或下限。

步骤七：既此，便可获得不同矩阵权重水平下的和的值及其随权重的变化趋势。理想情境下，较小的和将是试验者最优的选择。对于看重位置效应的试验者来说，通过加大位置效应的权重（较小的值），其容易获得较为理想的位置效应水平（较小的值），因此，在保证其位置效应的期望水平下，尽可能获得一个表现理想的离散效应水平（较小的值）将被试验者更多的关注。反之依然。和的相对水平及变化趋势将能够据此给出有效的建议，辅助试验者选择出最符合其需求的输入因子组合。下一章中，我们将结合实例，对此作更为详尽的说明。

实例分析

本章所引用的实例数据来自Hu et. al[11]的微波辅助提取试验，Chen et. al[8]曾引用该试验，以说明其提出的方法在多响应优化中综合考量响应位置效应与分散效应及其关系时的有效性。试验包含了四个输入因子，分别为微波强度（），照射时间（），萃取温度（），和乙醇浓度（），通过确定因子的最优水平，来最大化柴胡皂苷a（），柴胡皂苷c（）和柴胡皂苷d（）三个响应变量。试验通过中心复合设计，随机设定六个中心点，在因子水平，，，，上分别进行三次重复，并收集了每组因子水平下响应的均值与标准差，可作为对其位置效应与分散效应的衡量。三个响应的均值为LTB型且，标准差为STB型且。试验数据如表4-1所示。

表4-1 微波辅助提取试验数据

Power (W)	Time (min)	Temperature (℃)	Ethanol (%)	Relative extraction yield (%)
-1 (200)	-1 (3)	-1 (65)	-1 (35)	87.43	81.79	84.97	1.68	1.56	0.46
-1 (200)	-1 (3)	-1 (65)	1 (65)	85.74	81.26	83.27	1.51	0.40	1.04
-1 (200)	-1 (3)	1 (75)	-1 (35)	87.49	84.41	90.09	2.21	4.87	2.31
-1 (200)	-1 (3)	1 (75)	1 (65)	84.91	84.10	85.70	2.05	3.08	1.54
-1 (200)	1 (5)	-1 (65)	-1 (35)	91.16	89.40	92.82	2.60	4.56	0.65
-1 (200)	1 (5)	-1 (65)	1 (65)	88.36	90.94	92.25	1.18	2.60	0.93
-1 (200)	1 (5)	1 (75)	-1 (35)	92.58	90.20	93.39	0.06	0.76	2.45
-1 (200)	1 (5)	1 (75)	1 (65)	88.08	88.43	91.25	1.77	4.49	1.52
1 (400)	-1 (3)	-1 (65)	-1 (35)	87.30	88.15	86.21	1.72	2.97	2.00
1 (400)	-1 (3)	-1 (65)	1 (65)	84.17	86.61	85.58	0.74	0.59	0.11
1 (400)	-1 (3)	1 (75)	-1 (35)	90.49	91.71	91.08	5.13	1.69	2.94
1 (400)	-1 (3)	1 (75)	1 (65)	87.35	89.46	89.31	4.99	0.71	4.76
1 (400)	1 (5)	-1 (65)	-1 (35)	93.94	90.83	93.54	0.79	1.70	1.38
1 (400)	1 (5)	-1 (65)	1 (65)	87.34	90.30	92.28	2.16	1.10	1.49
1 (400)	1 (5)	1 (75)	-1 (35)	94.29	92.33	94.70	4.09	2.50	2.25
1 (400)	1 (5)	1 (75)	1 (65)	93.25	93.35	92.82	3.27	1.71	0.65
-2 (100)	0 (4)	0 (70)	0 (50)	90.20	86.93	90.32	1.02	2.59	3.26
2 (500)	0 (4)	0 (70)	0 (50)	92.26	92.48	92.91	1.77	1.55	2.39
0 (300)	-2 (2)	0 (70)	0 (50)	88.64	83.49	89.68	1.35	1.58	0.22
0 (300)	2 (6)	0 (70)	0 (50)	94.23	94.37	95.43	1.97	1.23	0.86
0 (300)	0 (4)	-2 (60)	0 (50)	88.95	82.68	85.65	1.31	0.37	0.32
0 (300)	0 (4)	2 (80)	0 (50)	93.53	93.33	93.81	1.65	1.70	0.57
0 (300)	0 (4)	0 (70)	-2 (20)	86.07	74.08	81.25	4.05	4.46	0.95
0 (300)	0 (4)	0 (70)	2 (80)	84.72	74.35	80.52	2.74	0.28	0.79
0 (300)	0 (4)	0 (70)	0 (50)	92.25	91.34	92.69	1.09	1.59	1.56
0 (300)	0 (4)	0 (70)	0 (50)	94.02	92.18	93.29	2.11	2.98	0.45
0 (300)	0 (4)	0 (70)	0 (50)	93.21	92.24	93.72	2.00	1.76	0.82
0 (300)	0 (4)	0 (70)	0 (50)	93.78	92.57	94.40	1.15	0.83	0.88
0 (300)	0 (4)	0 (70)	0 (50)	93.87	94.91	94.98	1.98	0.76	0.87
0 (300)	0 (4)	0 (70)	0 (50)	94.39	94.02	93.95	2.95	0.96	0.47

首先，通过SUR方法分别拟合响应的均值和标准差与输入因子间的关系，如下，

本文方法通过矩阵来反映响应的位置效应及分散效应的相对重要关系，我们首先通过4.1节实例来说明本文方法在反映试验者期望权重下的有效性，并通过与前人方法的对比来进一步说明本文方法在权重处理上的灵活性。除此之外，本文方法能够进一步考量位置与分散效应之间相对重要性，并且能够通过输出不同权重下响应的位置与分散效应的水平及趋势，从而为试验者提供权衡两种效应的有效信息，4.2节将结合实例将对此进行详细阐述。

位置效应及分散效应的相对重要性

响应的位置效应之间的相对重要关系，主要由矩阵的子矩阵来考虑。为方便放大变化，我们选定为对角阵，并设定其他三个子矩阵，和为0。通过调节中各矩阵元的相对大小则可获得对应响应的均值的不同表现。如表4-2所示，当的取值由Case 4.2.1变为Case 4.2.2时，响应的均值表现得到了改善，当由Case 4.2.2调整为Case 4.2.3时，响应的均值表现有所提升。即当响应的位置效应所对应的权重增大时，其均值更加接近目标值。由此可知，本文方法能够有效反映试验者对位置效应权重的有效性。

此外，在这一设置下，本文方法与Pignatiello[5]所提出的损失函数是一致的，子矩阵同其方法中的损失矩阵（表4-2中以表示，以便区分）具有相同的含义，在表4-2中我们也对比了二者的最优化结果，以辅助说明本文方法在反映位置效应权重上的有效性。由表4-2可知，在两种方法下，最优因子组合下各响应的水平、以及不同损失矩阵下对应响应的变化趋势是基本一致。此处需要说明的是，由于通过SUR方法对响应进行回归拟合时，响应的方差协方差关系直接影响模型的参数，因此本文方法与Pignatiello方法所获得响应回归模型不完全一致，故最优因子及响应水平取值存在微小差异。

表4-2 不同损失矩阵下的最优因子水平及响应的位置效应值

Pignatiello[4] Approach	Proposed Approach
Case 4.2.1
Case 4.2.2
Case 4.2.3

响应的分散效应之间的相对重要关系，主要由矩阵的子矩阵来考虑。同理，我们选定为对角阵，并设置其他三个子矩阵为0。通过调节中各矩阵元的相对大小，我们可以获得对应响应的标准差的不同表现。如表4-3所示，当的取值由Case 4.3.1变为Case 4.3.2时，响应的标准差表现得到了改善，当由Case 4.3.2调整为Case 4.3.3时，响应的标准差表现则有所提升。即当响应的分散效应所对应的权重增大时，其标准差越小，越接近其目标值0。由此，可知本文方法在反映试验者对于分散效应权重上的有效性。

另外，表4-3中响应效应水平的变化，也反映了本文方法对于相关关系考虑的有效性。以Case 4.3.3中为例，从水平来看，其相对权重较小，而弱权重响应由于其重要性降低，其效应水平的关注降低，对于最优因子水平的决定权减小，即最优因子水平主要由与决定。而由于响应间相关关系的存在，的水平变化将主要受到强权重响应的影响。故对比case 4.3.2与case 4.3.3来看，相对权重水平减小，但取值仍然变好，便是由弱权重所导致的决定权减小所造成的。

表4-3 不同损失矩阵下的最优因子水平及响应的分散效应值

Proposed Approach
Case 4.3.1
Case 4.3.2
Case 4.3.3

在此基础上，进一步考虑响应的位置与分散效应同时被考量的情景。通过调节的子矩阵中各元的大小，能够反映试验者对不同响应的均值的期望，而通过调节中各元的相对大小，则反映对于响应的标准差的不同期望。其中，中各矩阵元间的相对关系不受其对应的中各元关系的影响，可根据试验者的需求来灵活的设置。此外，通过调节和的相对大小，能够进一步实现对于响应位置与分散效应之间相对重要性的反映。与前文相似，我们仍然选定和为对角阵，设置其他两个子矩阵为0。在表4-4中我们将对上述情景逐一讨论。

Ko et. al[5]在其方法中通过矩阵能够实现对响应的位置与分散效应的同时考量，但如第一章中所提到，其方法要求同一响应的位置与分散效应具有相同的权重水平，即如Case 4.4.1所示，响应，，位置效应间的权重关系为，分散效应间的关系也为。因而我们为本文方法所采用的矩阵进行相同的权重设置，如Case 4.4.2所示，由结果可知，两种方法下最优因子与响应的均值水平基本一致。分散效应方面，由于Ko et. al[7]的方法无法得知每一个响应的标准差值，仅通过值来进行考量，为方便比较，我们计算了本文方法所得最优解下的值，对比可知，两种方法下响应的分散效应水平也基本相当。

与Ko et. al[7]方法不同的是，本文方法允许同一响应的位置与分散效应具有不同的权重水平。如Case 4.4.3所示，通过子矩阵重新设置了三个响应的分散效应之间的权重关系，使其不必与中的对应值保持一致。这正是本文方法相较于前人方法的灵活之处。

除此之外，本文方法能够进一步设置位置效应与分散效应之间的权重关系，以实现试验者的不同期望。如Case 4.4.4所示，当分散效应整体的权重被加大后，从结果来看，响应的标准差表现较之前有所提升。

表4-4 不同损失矩阵下的最优因子水平及响应的位置与分散效应值

Case 4.4.1： Ko et al.[7] Approach
-	-	-
Case 4.4.2： Proposed Approach
Case 4.4.3： Proposed Approach
Case 4.4.4： Proposed Approach

不同权重水平下的位置与分散效应

4.1节中，我们通过实例了解到，通过设置的子矩阵间的相对关系，能够实现试验者对于响应位置效应与分散效应间相对重要性的要求。本节中，我们将结合效应损失指标与，进一步比较不同权重下两种效应的水平及变化趋势，辅助试验者作出最优选择。

与4.1节一致，首先考虑为对角阵的情况。假设矩阵（）为，

依照3.3节所述的步骤，调节与的相对大小（即值），获得不同的损失矩阵下的最优解及与值。

图4-1中我们画出了和随变化的图像。由图可知，总体而言，随的增加而变大，随的增加而减小。在之前，比对于的变化更加敏感，呈现明显的下降趋势；当后，对于的变化则也趋于平缓。

图4-1 效应损失指标与与权重水平关系

当值从1增加到3时，尽管会略有增加，但仍处于较低水平，而则呈大幅下降。这表明，虽然时响应的均值表现略好，但时，最优因子水平下响应的表现要比时更加稳健。当值从3增加到5时，仍略有增加，下降幅度明显，但是有减缓趋势。当值从5增加到10时，仍然增加，下降幅度已趋于平缓。

由此，在位置效应可接受的增幅内，是相较于来说更为理想的选择，因为其分散效应的表现有着大幅的改善，意味着在最优输入因子组合下，响应在均值水平上的表现将更加稳健。而对于对分散效应有着更高要求的试验者来说，下可以进一步获得更好的分散效应水平，是值得考虑的更好选择。试验者固然可以根据其对于位置与分散效应的期望来自主选择和设置合适的水平，但总体而言，本例中，当或时的权重水平不具备太大的意义。

表4-5中我们分别给出了时最优因子水平以及均值响应与标准差响应的值。其中的水平变化不严格随分散效应整体权重的增大而减小，其原因与case 4.3.3中的情况一致，主要由于其相对于和的弱权重导致其决定权较小造成。在表4-5中，我们进一步计算了不同水平下响应的全局过程能力指数（），即全部响应的过程能力指数的几何平均数[12]，该指标综合考量响应的均值与标准差水平，能够反映多响应的过程能力，其值越大，表明过程能力越好。由表4-5数据可以发现，当值从1增加到5时，值增加，表明过程能力水平在逐渐提高；而当值增加到10时，值开始减小，表明过程水平能力已开始下降。的这一结果也支持了我们通过和所得到的结论。

表4-5 不同权重水平下的位置与分散效应值

考虑另外一种矩阵的定义形式，即。假设矩阵（）为，

由方差协方差矩阵为，

我们可以由得到矩阵为，

同理，依照3.3节所述步骤，通过调节与的相对大小（即值），可以得到不同的损失矩阵下的最优解及与值，并分别画出和随变化的图像，如图4-2所示。

图4-2效应损失指标与与权重水平关系

由图可知，与前例相似，随的增加而变大，随的增加而减小。在m<0.3之前，比对于的变化更加敏感，呈现明显的下降趋势；当后，对于的变化则也趋于平缓。则和是较为理想的选择，因其在位置效应可接受的增幅内，分散效应的表现更佳，响应在其均值水平上的表现更稳健。试验者仍然可以根据其对于位置与分散效应的看重程度来自主选择和设置合适的水平，但总体而言，本例中，若以改善分散效应的角度来考量，以后的权重水平不具备太大的意义。

表4-6中我们分别输出了时的最优因子水平，均值响应，以及标准差响应的值，并进一步计算了不同水平下响应的。由表中数据可知，MCpk的结果与本文方法所获得的结论基本一致，即当值从0.03增加到0.3时，值增加，过程能力水平在逐渐提高；当值增加到0.5时，值减小，过程水平能力已开始下降。

表4-6 不同权重水平下的位置与分散效应值

结论

在多响应优化问题中，权衡响应的位置与分散效应是十分重要的研究内容。本文给出了在考虑多响应间的相关关系与模型预测质量的情况下，构造反映响应位置与分散效应相对重要性关系的损失函数，通过损失矩阵的设置，获得符合试验者需求的最优输入因子组合的方法。相较于前人研究，本文方法优势在于：（1）考虑了多响应间的相关性，更贴合实际情境；（2）允许试验者对响应的位置与分散效应设置不同的权重水平，在反映试验者需求上更为灵活；（3）由响应的均值和标准差直接反映其位置与分散效应，最小化与实际情境的偏差；（4）能够输出响应的两种效应关于矩阵权重的变化趋势，通过效应损失指标和，辅助试验者在权衡两种效应过程中作出合理判断。结合实例，并与前人研究进行对比，我们更为详细的阐述了本文方法的有效性和在对响应两种效应考量上的优势。

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作者简介：施亮星(1977-),男,副教授,博导,主要研究方向:质量管理. E-mail: shi@tju.edu.cn