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区间[0,1)内列出实数的方法

2019-05-11 08:24:43 目录:默认 领域:数学 希望交流

摘要:由于任何一个实数都可以在实数轴上找到点,因此实数已经在实数轴上用几何方式被一一列出.本文进一步给出了用非几何方法将实数一一列出的方法.由于实数不可列理论是现有实数理论中的基石,一旦该理论不成立,很多相关的数学分支例如测度论等都有必要加以重新审视甚至重建。。

关键词: 数学基础;实数理论

 

李鸿仪

版权所有,引用请给出出处

 

由于任何一个实数都可以在实数轴上找到点,因此实数轴实际上已经把实数在实数轴上用几何方式一一列出。然而,康托似乎并没有注意到这个明显的事实,反而用区间套法或对角线法"证明"了实数是不可列的。文献[1,2]认为其推导是不严格的。

 

另外一个似乎能“有力地”支持实数不可列的理论是康托定理.康托定理表明,对任何集合,其幂集的基数要大于该集合的基数,因此,当该集合是自然数集合时,自然数幂集就不能与自然数一一对应,因此是不可列的。由于自然数幂集可以与二进制的实数一一对应,进而,他得出了实数是不可列的这一似乎有着“坚固“理论基础的结论。

 

然而,康托定理的证明尽管很巧妙,但对自然数集N,它其实不过是将有限集合的Card(Nn)< Card(P(Nn)) (这里,Nn={1,2,3,…,n}表示有n个元素的有限自然数集合)推广到n趋于无限的无限集而已:对有限集来说,Card(P(Nn))=2n> Card(Nn)=n, 因为limn→∞(2n/n)=,n趋于无限时,上式的不等号仍然成立,故实际上康托定理并不需要证明。但问题在于,虽然n趋于无限时,P(Nn)的各元素无法与Nn={1,2,3,…,n}的各元素一一对应,但却可以与N’={1,2,3,…,2n}的各元素一一对应,难道n趋于无限时, N’不是自然数集?

 由此可见,康托定理并没有证明实数是不可列的。

 问题的本质其实在于,将原本用于有限集时行之有效的一一对应方法推广至无限集,其可靠性并未得到过严格的证明,而实际上在无限集之间建立一一对应的方法往往不是唯一的(如上例),因此是不可靠的。关于该问题,笔者以后还要再讨论。

 

关于在无限集应用一一对应的不可靠性,笔者以后还要再讨论。

本文将给出用非几何方法将实数一一列出的方法: 在区间[0,0.1)内,通过逐步十等分区间的方法将区间内的十进制实数由疏到密地一一列出。

  

i=1时,将区间分成[0,0.1),[0.1,0.2)...[0.9,1)101个小区间,每个小区间任取小区间内的一个实数,可列出101个实数:

 

0.0...0.1...0.2......, 0.9...

 

应该说明的是, 由于在指定区间任取出的实数既可能是有理数,也可能是无理数,所以上述数字后的省略号表示的是包括循环节0在内的无限循环小数或无限不循环小数。

 

i=2时,将区间分成102份,每个区间任取一个实数,得到102个实数

 

0.00...0.01...0.02......0.99...

 

若其中出现与上一步骤(n=1)相同的实数(概率极小),只保留不重复的实数,这样,n=1,n=22个步骤总共列出了不少于102但不超过101+102个实数;

 

...

 

i=n时,将区间分成10n份,每个区间任取一个实数,10n个实数,保留其中与步骤1n-1所列实数不重复的实数。这样,i=1,i=2...i=nn个步骤总共列出了不少于10n但不超过101+102+103...+10n个实数;

 

i=n+1时,

 

....

 

 这个过程显然可以无限地进行下去。

 

由于每一步都只保留不重复的实数,故上述方法能保证列出的实数不重复。又由于区间内不存在任何一个实数是上述方法所不可能列出的, 所以,i趋于无穷时,上述方法可以由疏到密地一一列出区间[0,1)内的所有实数。

  

当然,与自然数和有理数一样,实数虽然是可列的,但却是列不完的。所以不能根据实数列不完而认为其是不可列的。

 

另外,能够将实数一一列出,就说明实数可以与自然数一一对应。比如说,第一个列出的实数与自然数1对应;第二个列出的则与2对应......不过,一一对应的方式并不是唯一的。以有限集为例,容易证明,n个元素的有限集合可以有n!种与自然数一一对应的方式。所以哪一个实数对应于哪一个自然数并不唯一也不重要,关键仅在于是不是能够把实数一一列出。

 

用其他整数替换上述小数点前的0,则可以用来列出其他区间的实数。

由于实数不可列理论是实数理论中的基石,一旦该理论不成立,很多相关的数学分支例如测度论等都有必要加以重新审视甚至重建.

 

    参考文献:

    [1]https://zhuanlan.zhihu.com/p/64855751
    [2]https://zhuanlan.zhihu.com/p/63166542未列出的

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    研究员 无

    工作单位:上海第二工业大学

    所属领域:数理科学

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