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区间[0,1)内列出实数的方法

2019-05-11 08:24:43 目录:默认 领域:数学 希望交流

摘要:由于任何一个实数都可以在实数轴上找到点,因此实数已经在实数轴上用几何方式被一一列出.本文进一步给出了用非几何方法将实数一一列出的方法.由于实数不可列理论是现有实数理论中的基石,一旦该理论不成立,很多相关的数学分支例如测度论等都有必要加以重新审视甚至重建。。

关键词: 数学基础;实数理论

 

李鸿仪

版权所有,引用请给出出处

 

由于任何一个实数都可以在实数轴上找到点,因此实数轴实际上已经把实数在实数轴上用几何方式一一列出。然而,康托似乎并没有注意到这个明显的事实,反而用区间套法或对角线法"证明"了实数是不可列的。文献[1,2]认为其推导是不严格的。

 

另外一个似乎能“有力地”支持实数不可列的理论是康托定理.康托定理表明,对任何集合,其幂集的基数要大于该集合的基数,因此,当该集合是自然数集合时,自然数幂集就不能与自然数一一对应,因此是不可列的。由于自然数幂集可以与二进制的实数一一对应,进而,他得出了实数是不可列的这一似乎有着“坚固“理论基础的结论。

 

然而,康托定理的证明尽管很巧妙,但对自然数集N,它其实不过是将有限集合的Card(Nn)< Card(P(Nn)) (这里,Nn={1,2,3,…,n}表示有n个元素的有限自然数集合)推广到n趋于无限的无限集而已:对有限集来说,Card(P(Nn))=2n> Card(Nn)=n, n趋于无限时不等号自然仍然成立,故实际上康托定理并不需要证明。但问题在于,虽然n趋于无限时,P(Nn)的各元素无法与Nn={1,2,3,…,n}的各元素一一对应,但却可以与N’={1,2,3,…,2n}的各元素一一对应,难道n趋于无限时, N’不是自然数集?

 

由此可见,康托定理并没有证明实数是不可列的。

 

关于在无限集应用一一对应的不可靠性,笔者以后还要再讨论。

本文将给出用非几何方法将实数一一列出的方法:

n=1时,将区间分成[0,0.1),[0.1,0.2)...[0.9,1)共101个区间,每个区间任取一个实数,可列出101个实数:

0.0.....;0.1...;0.2...;...0.9....

应该说明的是, 由于在指定区间任取出的实数既可能是有理数,也可能是无理数,所以上述省略号表示的是包括循环节0在内的无限循环小数或无限不循环小数。

n=2时,将区间分成102份,每个区间任取一个实数,得到102个实数

0.00....;0.01....0.02...;.....;0.99.....

若其中出现与上一步骤(n=1)相同的实数(概率极小),只保留不重复的实数,这样,n=1,n=2这2个步骤总共列出了不少于102但不超过101+102个实数;

....

n=n时,将区间分成10n份,每个区间任取一个实数,得10n个实数,保留其中与步骤1到n-1所列实数不重复的实数,这样,n=1,n=2...n=n这n个步骤总共列出了不少于10n但不超过101+102+103...+10n个实数;

....

 

n趋于无穷时,各步骤将由疏到密地一一列出区间[0,1)内不超过101+102+103+...的实数。

用其他整数替换上述小数点前的0,则可以用来列出其他区间的实数.

 

 上述方法能保证将区间内的实数不重复地一一列出, 而且区间内不存在任何一个实数是上述方法所不可能列出的,所以,上述方法可以列出区间内的所有实数.当然,与自然数和有理数一样,实数虽然是可列的,但却是列不完的。

 

另外,能够将实数一一列出,就说明实数可以与自然数一一对应。比如说,第一个列出的实数与自然数1对应;第二个列出的则与2对应......不过,一一对应的方式并不是唯一的。以有限集为例,容易证明,m个元素的有限集合可以有m!种与自然数一一对应的方式。所以哪一个实数对应于哪一个自然数并不唯一也不重要,关键仅在于是不是能够把实数一一列出。

  

由于实数不可列理论是实数理论中的基石,一旦该理论不成立,很多相关的数学分支例如测度论等都有必要加以重新审视甚至重建.

 

参考文献

[1]https://zhuanlan.zhihu.com/p/64855751

[2]https://zhuanlan.zhihu.com/p/63166542未列出的

 

 

 

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    研究员 无

    工作单位:上海第二工业大学

    所属领域:数理科学

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