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对角线证明中的一个并不成立的隐含假定(理论版)

2019-05-06 17:44:17 目录:默认 领域:数学 希望交流

摘要:由于对角线证明隐含了一个并不成立的假定,因此并没有严格地证明了反证法所需要的矛盾必然存在,看似完美无缺的对角线证明实际上并不成立。这是否会在数学界和逻辑学界引起人们对数学证明究竟是否可靠的怀疑甚至恐慌?这里问题的关键其实在于两个无限集合之间的相互关系:当两个无限集合的元素并不是完全独立的时候,例如,在对角线法中,m位对角线小数至少要与10^m个实数相对应,那么,其中变化较慢的无限集是永远跟不上变化较快的无限集的,这时,推导就要分外小心:此无限未必一定能覆盖彼无限!由于对角线法应用广泛,所有应用对角线法的证明,是否都应该重新审视这一点?。

  

对角线法简述如下(反证法): 先假定[0,1)内的实数是可列的,并将其全部列出, 

 

x1,x2,x3, … (1)

 

然后用对角线构筑一个不同于(1)的新实数,与假定矛盾,从而反证了实数是不可列的。

 

构筑新实数的方法如下:

 

 

x1=0.a11a12a13

 

x2=0.a21a22a23

 

x3=0.a31a32a33

 

 

得对角线小数

 

b=0.a11a22a33

 

 

bii≠aii, (i=1,2,3…)

 

 

b’=0.b11b22b33

 

康托认为,b’是不同于(1)中的任何一个实数的新实数,从而完成了反证。

 

  如果b'是一个新实数,以上推导成立。但相关证明过于简单粗略,有必要将其细致化。为此,本文首先将1和0.999…统一表示为1.000….;同理,0.5和0.4999…统一表示为0.5000…., 这样,以下引理显然成立.

 

引理1当且仅当yi=zi(i=1,2,3…)时,0.y1y2y3…=0.z1z2z3

 

因为对角线小数b的第m位小数正好也是所列的第m个实数xm的第m位小数,故

 

定义1 称小数位数等于m的对角线穿越了x1,x2,…,xm-1后到达了实数xm,简称到达了xm

 

定理1若对角线到达了xm并改娈b的第1,2,…,m位小数, 得到的b'不等于实数x1,x2,…,xm中的任何一个。

 

证明 因为对角线到达了xm,根据定义1,b具有m位小数,根据引理1, 改娈b的第1,2,3…m位小数,得到的小数b'不等于实数x1,x2,x3…xm中的任何一个。

推论 若对角线到达了的实数x1,x2,x3…,改娈b的第1,2,3…位小数, 得到的小数b'不等于这些实数中的任何一个

定理2当且仅当对角线b到达所列出来的实数,实数b’必不同于所到达的实数中的任何一个。

证明 充分性:由推论即可得; 必要性:对于对角线所不能到达的任一实数xj,根据定义1,b中不含有该实数的第j位小数,因此无法通过改变该位小数从而保证b’≠xj

虽然对对角线证明的质疑很多, 但似乎并没有引起主流数学界的重视。这是因为,由于对角线可以无限延伸,所以人们很自然地认为,对角线必然可以到达(1)式所列的所有实数,使反证完成.

然而,事实果真如此简单吗?为了更可靠地回答该问题,有必要对对角线无限延伸的过程i=1,2,3….逐一考查。 

i=1时,根据定义1,对角线达到第1位小数,但第一位小数可在0,1,2,…9取值,故这时互不相同的实数至少有10个,不妨将这些小数置于最前面:

 x1=0.0a12a13

 x2=0.1a22a23

 x3=0.2a32a33

 …

 x10=0.9a10,2,a10,3

 

 根据定理1,只能保证b’ 与x1不同, 换言之,至少有10-1个实数x2,x3,….x10是i=1的对角线所不能到达的;

 i=2时,对角线达到2位小数,但第2位小数也可在0,1,2,…,9 取值,故互不相同的实数至少有102个,不妨将这些小数置于最前面:

 x1=0.00a13

 x2=0.10a23

 x3=0.20a33

 …

 x100=0.99a100,3

 

 根据定理1,只能保证b’ 与x1,x2不同,换言之,至少有个102-2个实数是i=2的对角线所不能到达的;

 …

 同理,i=m时,至少有m'=10m-m个实数是i=m的对角线所不能到达的;

... 

由于limm→∞(m'/m)=∞。已证得:

定理3 无限延长的对角线不能到达(1)式所列出的所有实数。

如果是二进制,只要把10m改成2m即可。

 对角线证明认为无限延伸的对角线可以到达(1)式所列出的所有实数。由定理3可见,该隐含的假定并不成立,因此,根据定理2 对角线法无法保证实数b’一定不同于(1)式中的任何一个实数,即没有证明矛盾必然存在, 反证失败。

更精简的推导见文献[1].文献[2]则给出了能将实数列出的方法.若该方法能经受住考验,则所有认为实数不可数的理论均将宣告破产,而全部数学基础也都将重新改写.

 

    参考文献:

    [1]http://www.paper.edu.cn/sq/wesci/edit/NQj2U95NObTVUVxu
    [2]http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVQV1u

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    研究员 无

    工作单位:上海第二工业大学

    所属领域:数理科学

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