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证明实数可列的一种极其简单的方法(详细版)

2019-07-21 09:07:43 目录:默认 领域:数学 希望交流

  拙文[1] 给出了证明实数可列的一种极其简单的方法,将该方法在以大漠春晖为群主的"数学爱好者"微信群讨论后,大漠春晖,天长地久,hrr,康托+,舍凡等提出了一些宝贵意见,所以笔者又作了证明过程的详细化:

 

 

为了随机地获得一个实数,根据实数的连续性定理,若用一把没有厚度的刀[2]随机地劈向实数轴,就可随机地得到一个实数。但文献[3]认为有可能劈到空隙,这时可以一律取空隙右边(或左边)的实数为指定的数。这样,不管实数之间是否存在空隙,总可用这种方法随机地得到一个实数。如果是平面或立体,则可用一支没有大小的针来代替刀以获取实数。

 

  

定理1 实数轴(或实数平面、实数立方体)的任意区间(或区域)内的实数X是可列的。

 

证明 完全随机地指定X中的一个实数,用x1表示该实数并令X’={x1},令 X*=X-X’, 然后在X*中再随机地指定一个实数x2并用迭代算法重新定义X’ X*使得X’={x1,x2},X*=X-X’,….,这个过程可以无限地进行下去,从而得到集合X’={x1,x2,x3,…}。由于X’中的每一个元素都来源于X,且采用的方法是完全随机的,即不存在一个永远不会在X’ 中出现的X的元素。因此,只要上述过程一直进行下去,X中的全部元素都会在X’ 中出现,即 X’=X,而X’显然可列。                                                                  证毕

 

要注意的是,不要把在有限的时间内列不完和不可列相混淆。例如,在有限的时间内,自然数是列不完的,但却是可列的。同样,在上述过程中且n趋于无限大时,在有限的时间内,实数也是列不完的,但却是可列的。

 

 

 

 

 

[1]李鸿仪.证明实数可列的一种极其简单的方法.http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVcVzu

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3]李鸿仪.数间距定理及其对数学基础的颠覆.

http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NQj2U95NObTVcVwu

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    研究员 无

    工作单位:上海第二工业大学

    所属领域:数理科学

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