唐代开元年间，一行在其《大衍历》（724AD）中构造了世界上第一张正切函数表，与此同时，他发起并领导了中国历史上第一次大规模的天文大地测量，其结果归算出了地球子午线一度所对应的长度。本文的主要目的是通过具体的计算，分析并探讨一行的正切函数表与史籍中记录的与这次测量有关的大量数据的关系。根据《高丽史》中所载唐代《宣明历》（892AD）的有关算法，重构了的一行的正切函数表。通过对这次测量中全部十个地点的所有数据的计算发现，史籍上记录的测定结果，如“定春秋分晷影”等，基本上都是利用一行的函数表根据冬、夏至晷影而归算出来的。一行的正切函数表对唐代天体测量学的理论方法产生了很大的影响。

计算月亮的白道经度，是中国古代数理天文学之月亮运动理论的核心内容之一。在《授时历》（1280年）之前，人们以九道术算法，通过对黄白道差的计算，推求月亮的白道经度。但是，结果很不理想。在《授时历》中，郭守敬与王恂创设“白道交周”算法，改而考虑白赤道坐标的变换，并由此推求任意给定时刻月亮的赤纬，及其白道经度。通过对原始文献的解读分析，搞清楚了《授时历》白赤道坐标变换的算法模型，并运用现代天文学知识的检验，认定这个算法模型的建立是合理的，成功的。

《甲寅太乙历》是作者根据唐代《太乙金镜式经》中记载的一条上元积年数据发现并修复的一部历法。它可能是太乙术数中的第一部历法。在重构这部历法之上元的过程中，意外地发现,就气朔的推算来说，《甲寅太乙历》与《殷历》实际上是相同的。由於两历都是四分历，是故他们推算的历谱将是完全一样的。《甲寅太乙历》的制定年代大约出於400BC前后，最迟当不晚於汉武帝元朔元年（128BC）。《甲寅太乙历》中有三个大的周期，这三大周期是《甲寅太乙历》上元的选择所必须考虑的先决条件，它们分别是：4560年的气朔周期，4320年的大游太乙周期，以及225年的五福太乙周期。而后两个大的周期是普通的官方历法所不予考虑的，因此，官方历法无法取代太乙历法。由於太乙历法的上元选择采用的是中国古代传统数理天文学中的演纪算法，这个事实从来未引起研究者的注意，因此，可以说太乙历法是中国历法史上长期以来被忽视了的一个重要分支。

早期中国历法在推求日月食持续时间时，只计算初亏、食甚、复圆等三个时刻，统称日月食三限。此一算法的文献记录最早出现在刘焯的《皇极历》（600年）中。至少从宋代楚衍的《崇天历》（1024年）起，历法家开始对月全食计算食既与生光等时刻，因此就有了月食五限的说法。日食三限在唐代的印度风格的《九执历》（718年）中有一个简明的算法。类似的算法在元代的阿拉伯传统的《回回历》（1383年）中得到发展，并且出现了月食五限的计算方法。这两部外域风格的历法，都是根据日月食的几何模型构造其算法的。而在元代郭守敬的《授时历》（1280年）之前，中国历法中的日食三限与月食五限算法均为以食分为自变量的数值函数，其构造无须借助于日月食的几何模型。但是《授时历》中日食三限与月食五限算法，却给出了一类新的函数。可以证明，尽管在形式上有所差异，但这些算法的构造，无疑运用了与《九执历》及《回回历》相同的几何模型。这一事例表明，中国古代历法家在保持传统拒绝接受外来合理的天文学观念500 多年后，不得不最终接受其影响。只是由于这个影响仍然以中国古代历法家所习惯的表达方式给出，因此，在一定程度上蒙蔽了现代研究者的视线罢了。

日食的食差是月亮的视差对日食食甚时刻月亮到黄白交点之距离的修正值。从形式上看，其理论模型与中国古代的传统算法几乎没有任何相似之处。为了与理论算法进行比较，成功地将薮内清建立的理论模型简化为以太阳的黄经与时角为自变量的二元函数；同时，重构了传统算法的数学模型。在此基础上，比较了传统算法与理论算法的异同，得出的结论是：两者的数学模型是相似的、计算结果是近似的。以现代科学的标准来看，中国古代日食食差算法的数学模型是合理的、有效的。

There are only two kinds of non-isomorphic consecutive vertex labelings of octahedron, and each of them can be deduced from the other. There is an algorithm to construct consecutive edge labelings. It is shown that there exist many non-isomorphic complementary consecutive edge labelings of octahedron.

The parabolic interpolation was created by Liu Zhou (刘焯) for dealing with the irregular movement of celestial body in 600 AD. As a numerical method, Liu's interpolation led the mainstream of traditional Chinese calendar-making system thereafter. The characters of mathematical astronomy of Chinese and western differ greatly in their algorithms. Chinese people intended to invent a numerical method such as the interpolation instead of a celestial model as Ptolemy's epicycle-deferent system. Based on a discussion of the evolution of Chinese solar motion theory around the 7th century, the present paper will illustrate why Chinese raised such an idea of interpolation, how they made use of this kind of method, and if it was developed independently.

The first approach to the history of mathematics in China led by Li Yan (1892-1963) and Qian Baocong (1892-1974) featured discovering what mathematics had been done in China's past. From the 1970s on, Wu Wen-tsun and others shifted this research paradigm to one of recovering how mathematics was done in ancient China. Both approaches, however, focus on the same problem, that is mathematics in history. The theme of the third approach is supposed to be why mathematics was done. Combining this approach with the former two, the research paradigm will be improved from one of mathematics in history to that of the history of mathematics.